CALCUL DE L'ÉQUILIBRE GÉNÉRAL D'UN ARC

trement, soit une force nulle, si le sommier d'origine est à rotule.

3° Au stabili-centre d'encastrement d'extrémité J, on applique soit une force inconnue Z s'il doit y avoir encastrement, soit une force nulle s'il y a rotule.

4° Au stabili-centre de poussée T, on applique une force toujours inconnue X.

5° Au sommier d'origine 0, on applique soit une force inconnue % si le sommier est à rotule, soit une force nulle s'il est à encastrement.

6° Au sommier d'extrémité on applique soit une force inconnue a, si le sommier est à rotule, soit une force nulle s'il est à encastrement.

Cela fait, on exprime graphiquement qu'il y a équilibre asiatique, c'est-à-dire pour toutes les directions, entre les forces connues et les forcesinconnues.il n'y aura jamais que trois inconnes ainsi que le fait voir le tableau ci-après.

Points d'application et forces fictives à y appliquer ou à y trouver

1er Cas

Les deux sommiers encastrés

2e Cas

Sommier d'origine encastré (l'autre à rotule)

3° Cas

Sommier d'extrémité encastré (l'autre à rotule)

4e Cas

Les deux sommiers à rotule

Stabili-centre P, avec A = aj + a?

connu

A connu

Stabili-centre T, avec X = -iK + «î;

inconnu

Stabili-centre I, avec Y = ^ + *%)

inconnu

Stabili-centre J, avec

z = îr«,+aW

inconnu

Z = 0 et

inconnu

1 = 0 et

Mi = 0

Sommier 0, avec ao

inconnu

Sommier D, avec

inconnu

Qtj = 0

inconnu

La force A, qui résulte des charges, est connue dans tous les cas. Pour déterminer une quelconque des trois forces inconnues (X par exemple, c'est-à-dire la poussée dans le 1er cas), le procédé le plus simple consiste à rendre les forces parallèles à la droite IJ qui réunirait les points d'application des deux autres forces inconnues Y et Z; en prenant les moments par rapport à cette droite les forces Y et Z donneront des moments nuls, et l'équation des moments, ne comprenant plus que la force X, fera connaître cette dernière.

Nota. — Les quantités A, A', A", A, peuvent se calculer arithmétiquement (v. n° 429), au lieu de se construire géométriquement.

428 bis. Application de la méthode graphique (fig. 428). (a) Arc à deux sommiers encastrés (fig. I). — Les inconnues sont la poussée t, et les deux moments d'encastrement M0 et Mt.

1° Poussée. — On mène la droite IJ qui joint les stabilicentres d'encastrement, et l'on écrit que le moment, par rapport à la droite IJ de la force Active connue A = V + a^, appliquée en P est égal et de signe contraire à celui de la force fictive inconnue X = *(a0e +ai") : 6 appliquée en T. Pour évaluer les moments il est inutile d'abaisser les perpendiculaires des points P etT sur la droite IJ. On peut prendre pour bras de leviers les portions d'ordonnées PP, et TT" interceptées, car elles sont proportionnelles aux perpendiculaires; cela donnera :

PP' a£'

TT' -+- a';

Les deux rapports par lesquels il faut multiplier successivement 8 sont des rapports de longueurs à prendre à une échelle quelconque sur l'épure.

2° Moment d'encastrement à l'origine M0. — On joint JT, et l'on écrit que le moment, pris par rapport à cette droite, d'une force fictive inconnue Y = M0(aoli<> + «îN : n est égal à celui de la force fictive connue A appliquée en P, ce qui donne (2) Mn =

pp" 4 X -ypr X —

3» Moment d'encastrement à l'extrémité M(. — On joint IT et en prenant, par rapport à cette droite, les moments des forces fictives appliquées en P et en J, on aura

PP'" a*

Mi = y- X y|f X jj

if' + «ï<

(b) Arc avec un seul sommier encastré (fig. II). — Supposons que ce soit le sommier d'origine : les inconnues sont la poussée t, le moment d'encastrement M0, et la déviation angulaire à l'extrémité «i :

■1° Poussée. — On joint le point I et le sommier D et l'on écrit que, par rapport à cette droite, les moments de la force fictive A, connue, appliquée en P et de X, inconnue, appliquée en T sont nuls, ce qui donne (fig. II) :

. af

PP' ag ^°XTT'X^

2° Moment d 'encastrement Mo. — On mène la droite TD, et en écrivant que les moments sont nuls on a

PP" a''

H a;}o -+- aÇo

3° Déviation angulaire d'extrémité al . — On mène la droite IT et c'est par rapport à elle que l'on prend les moments de la force A appliquée en P et de la force fictive «i appliquée en D, ce qui donne

PP'

390 THÉORIE (c) Arc à deux rotules (fig. III). — Les inconnues sont

t, a0 et Oj.

1° Poussée. — On joint les deux sommiers et en prenant les moments par rapport à cette droite OD, on en déduit

Fig. 428

2° Déviation angulaire à l'origine. — On joint D et T, et en prenant les moments par rapport à cette droite DT on a

3° Déviation angulaire à l'extrémité. — On joint OT et en prenant les moments par rapport à cette droite OT on a

PP'

(9) *< + Xw-

Nota. — 1° Les droites telles que IJ (fig. I), DI (fig. II) et OD (fig. III) qu'il faut tracer dans chaque cas pour déterminer la poussée se nomment les lignes de fermeture de l'arc.

2° Nous avons appris à déterminer graphiquement les constantes de l'arc qui constituent les coefficients des équations dans la méthode algébrique ; on peut aussi, avec plus d'exactitude peut-être, les déterminer arithmétiquement ainsi que nous allons le montrer.

DES ARCS