ÉQUILIBRE MOLÉCULAIRE DES SECTIONS - COURBE DES PRESSIONS

On a un polygone des pressions lorsque les forces sont discontinues ; ce polygone devient, à la limite, une courbe lorsque les forces sont réparties d'une manière continue.

[b) Théorème. — « Le polygone des pressions n'est autre « chose que le funiculaire dt, ayant pour ligne de ferme- « ture la représentative dt des moments d'encastrement. »

Supposons d'abord que l'arc soit à deux rotules, et que nous connaissions (fig. 431-1) la poussée t (force horizontale) et la réaction X0 des charges (force verticale), appliquées toutes deux au sommier d'origine 0. Leur résultante Og = R' donnerait le premier côté du polygone des pressions. Nous prenons en a sa rencontre avec la première charge rencontrée f\ et la résultante ab de ces deux forces donnerait le second côté du polygone des pressions, et ainsi de suite. En allant jusqu'au bout, nous devrons fermer ce polygone sur le sommier d'extrémité D.

Pour faire ce tracé, on construira d'abord un dynamique (fig. 431-11) avec la poussée t, que l'on combinera avec les charges fi} f.2 et les réactions X(J et Xj. Les rayons polaires numérotés 1, 2, 3 de ce dynamiquedonnentles grandeurs et les directions des résultantes successives des pressions. Cela prouve que le polygone des pressions 0, a, b, c, D n'est autre chose, dans le cas de l'arc à deux rotules, que le funiculaire dt, tel que nous l'avons défini ci-dessus.

S'il y a encastrement, je dis que le funiculaire dt descendu de telle sorte que sa ligne de fermeture en M^L soit confondue sur la représentative dt des moments d'encastrement est encore le polygone des pressions.

Fig. m

En effet, déplaçons le pôle du dynamique (fig. II) de I en I', de telle sorte que XJ', qui primitivement était parallèle à la corde de l'arc, soit maintenant parallèle à la ligne des moments M0M,. Je dis tout d'abord que l'I représente la modification apportée dans la réaction de l'appui d'origine par l'ensemble des couples d'encastrement M0 et Mt.

En effet, cette réaction n'est autre chose que l'effort tranchant qui, en 0, résulte de l'action réunie de ces deux couples M0 et 5L, et sa valeur est donnée par la pente vraie de la représentative M^I,. Ici elle est négative. La pente-épure de cette ligne des moments est fournie par le dynamique ; elle est II' : d; sa pente vraie s'obtiendra en multipliant sa pente-épure par la distance polaire d, ce qui donnera II', ainsi que nous l'avions annoncé.

Par conséquent, au droit du sommier d'origine, les trois forces en présence sont, en les prenant sur le dynamique (fig. II) :

1° La réaction l'I, provenant des moments, et qui a été trouvée ci-dessus ; 2° La poussée IXt;

3° La réaction verticale XiX0. . . de l'appui.

La résultante de ces trois forces est bien, en direction el en grandeur, donnée par le rayon polaire I'X0 du dynamique, et par conséquent le côté M0a' (fig. I) du funiculaire dt, qui lui est parallèle, donne bien en direction le premier côté du polygone de poussée.

Je dis qu'il le donne aussi en position. Pour le démontrer, il suffit de prouver que cette force, dont la grandeur R' est donnée en l'X0 (fig. II), développe, à l'origine, un moment fléchissant égal à M0.

Or, abaissons OQ, perpendiculaire, sur M0a'. Le moment de la force M0a' pris par rapport au point 0, est le produit de l'X0 (fig. II j, par OQ (fig. I). Les triangles OQM0 (fig. I) et I'wXo (fig- II) sont semblables comme étant rectangles et ayant un angle aigu égal. Us donnent :

9® = ^ d'où OQXR' = OM0X< = M0,

t IX

car le moment d'encastrement réel M0 s'obtient en multipliant sa représentative OM0 par la distance polaire t.

Passons maintenant aux autres forces. Cette première résultante R' rencontre en a' la force fu et doit se combiner avec elle pour donner le second côté du polygone des pressions. Le dynamique le donne en grandeur et direction par son second rayon polaire Vf\ qui est parallèle au second côté a'b' du funiculaire dt ; donc ce côté est bien la seconde résultante partielle des forces extérieures, c'est-à-dire aussi le second côté du polygone des pressions, et ainsi de suite. Le théorème est donc démontré.

Nota. — Si les forces sont réparties d'une manière continue, le polygone des pressions devient la courbe des pressions, dont les tangentes sont les positions limites des côtés du polygone.