Centres de pression. — Effort tranchant

Supposons tracée la ligne des pressions que nous venons d'étudier, et considérons une section quelconque de l'arc, normale à la fibre neutre primitive du point A (fig 432-1).

THEORIE DES ARCS

Pour étudier ce qui se passe en ce point, reproduisons (fig. II) la portion de dynamique correspondante.

Soit OA' la courbe des pressions, les points A et A' étant, d'après la démonstration précédente, sur une même verticale. Soit AK la section normale de l'arc; le moment fléchissant en A est, nous l'avons vu, égal au produit de l'ordonnée A A' par la distance polaire d = / du funiculaire dt qui constitue la courbe des pressions; il est positif dans le cas de la figure.

Menons au point A' la tangente à la courbe des pressions ; le point I où cette tangente rencontre la section AK est le centre de pression de cette section, car c'est bien le point I ou la résultante des forces, laquelle a pour ligne d'action A'I, vient rencontrer la section.

Si l'on a un polygone, au lieu d'une courbe des pressions la tangente précédentesera remplacée par le côté du polygone des pressions que rencontre la verticale AA'.

Sur le dynamique, la distance polaire est Sw égale à t ; le rayon polaire Sa est parallèle à la tangente en A à la courbe des pressions ; ce rayon polaire représente, en gran-

Fip. 432

deur et direction, la pression P que subit la section AK. Menons oK' parallèle au plan de la section AK ; abaissons du pôle S la perpendiculaire S# sur cette droite, la droite S<7 nous donne la valeur de la pression normale N sur la section AK ; la droite ga nous donne celle de V effort tranchant T.

On voit que si on transporte la force N appliquée au point I, de ce point au centre de gravité A de la section, le moment de transport est égal à NX, et positif dans le cas actuel, X représentant la distance du centre de pression I au centre de gravité A de la section. 11 doit être égal au moment iléchissant dans la section AK et de même signe que lui.

Cela doit être, ainsi que nous l'avons déjà dit au n»413-rf ; mais nous allons le vérifier dans le cas actuel et prouver que l'on a bien :

AI X N = AA' X t.

En effet les triangles semblables AIA' (fig. I) et aSb (fig. II), Sb étant parallèle à AK, donnent : ab AA'

sT ~~ ~Â7'

et comme dans le triangle aSb, on a :

ab X t = Sô X N, d'où ^ = -

So t

car, chacune de ces deux expressions représente le double de sa surface, il en résulte

ab N A A'

"sT" r = ^r d'où

AA'X< = AIXN. C.Q.F.D.

Nous pourrions donc, sans construire le dynamique (fig. II), déduire la valeur de N de la figure I, à condition qu'elle soit faite à assez grande échelle.

Remarque. — En général la courbe des pressions ne passe pas parles centres dépression. Le lieu de ces derniers points est une courbe distincte de la précédente et qu'on nomme courbe des centres de pression.

La connaissance de la première entraîne celle de la seconde. En effet, si l'on donne la courbe de pression on prendra les points de cette courbe, tel que A' situés sur la verticale du centre de gravité des sections; on mènera sa tangente en ce point et la rencontre en I de cette droite avec la section donnera le centre de pression sur cette dernière.

Les deux courbes ne seraient confondues que si la fibre neutre elle-même était la courbe des pressions. On voit alors que dans aucune section de l'arc il n'y aurait de moment fléchissant ni d'effort tranchant. L'arc ne serait soumis qu'à des efforts décompression longitudinale.