SOMMIERS ENCASTRÉS

{b) Théorème. — « Une charge P appliquée au point A « de l'arc, déterminera une poussée qui sera donnée, à un « facteur près, par le déplacement en hauteur, y", que le « point A de la poutre courbe aurait pris sous l'influence « de la poussée 0. » (1).

Le théorème a été déjà démontré (v. n° 422) pour l'arc à deux rotules ; nous allons le démontrer pour un arc à deux sommiers encastrés (fig. 434-1); la démonstration serait la même pour un arc ayant un sommier encastré et l'autre à rotule (fig. II).

Tout d'abord convenons de prendre une poussée unitaire 6, graphiquement égale à la distance polaire d ; nous savons que dans ce cas la représentative des moments de poussée estlafibre neutre elle-même. Nous désignerons cette poussée par la double lettre 0d.

Cherchons quels sont les moments d'encastrement M0 et Mi que cette poussée 0 développe aux sommiers de la poutre courbe (fig. 435). Si on les connaissait, on tracerait leur droite représentative M0M, et les moments définitifs seraient mesurés, à l'échelle des moments, par les différences entre les ordonnées de la fibre neutre et celles de cette droite que nous nommerons avec M. Maurice Lévy, la ligne de fermeture de tare. Je dis que :

(c) Lemme et ligne de fermeture. — « La ligne de fer- « meture est la droite IJ qui joint les stabili-centres d'en- « castrement .»

(1) Cette proposition n'est qu'uu corollaire du beau théorème général, dit : de Réciprocité, démontré par M. Bertrand de Fontvioland (compte-rendu de la Société des ingénieurs civils.)

THEORIE DES ARCS

Pour le démontrer il suffit de prouver que les ordonnées de chacun des moments trisecteurs N et N' de cette droite, sont égales aux ordonnées 8^ et î;il des stabili-centres d'encastrement. Démontrons-le pour un seul des deux, par exemple pour le moment trisecleur de -droite N' et prouvons que l'on a : N' = 2^ .

Le théorème des moments trisecteurs, démontré aux nos 197 et 287, s'applique également aux poutres courbes, il s'écrit

Il signifie que ce moment trisecteur N ne dépend que de la déviation angulaire que l'encastrement a pour mission de corriger sur le sommier qui est du même côté que lui et nullement de celle qu'il faut détruire sur l'autre sommier. Ce fait est à retenir parce qu'il généralisera la démonstration pour le cas où un seul sommier serait encastré.

La formule (1) exprime que ce moment trisecteur N' est au moment unitaire \t, comme la déviation angulaire à détruire a1; sur le sommier qui lui correspond est à la déviation angulaire af, que le moment unitaire p appliqué uniformément sur toute la pièce, produirait sur le même sommier. Cela étant rappelé :

a* dans la formule (1) nous est donné par le tableau de calcul de la page 392, colonne 12. On a, en remarqant que 0 sera facteur dans tous les termes de la somme C 0

AS

v yx

L~ "L^T et serait donné par la colonne 18 dans laquelle on remplacera m' par sa valeur qui, en tant

aj est égal à

Fig. 435

qu'ordonnée du triangle unitaire de droite (fig. 435-11). a pour expression m' — \j.x : L ; on aura donc, en mettant en facteur dans tous les termes, \x et L,

d'où en remplaçant dans la valeur de N', supprimant haut et bas les facteurs communs \i et L,

IV

Telle serait la valeur vraie de N', en fonction de 0. Pour la représenter graphiquement il faut la diviser par la distance polaire d, afin qu'en la multipliant par d, nous retrouvions sa valeur vraie. .Mais puisque nous avons pris 0 graphiquement égal à d, on voit que cela revient à supprimer le facteur e, et que N' a pour valeur d'épure

yx

AS

AS

Maintenant le tableau donne, colonnes 18 et 19, pour l'ordonnée du stabili-centre J d'encastrement de droite, en remplaçant m' par sa valeur qui est m' = jjur : L, et supprimant, haut et bas, le facteur n commun à tous les termes des sommes

AS

— AS

On aura de même S^o = — N. Nousdevrions porteries ordonnées en sens contraire de celles de la fibre neutre, ce qui donnerait les symétriques des stabili-centres d'encastrement. Mais nous les porterons du même côté et nous compterons les moments définitifs à partir de cette ligne de fermeture IJ, jusqu'à la fibre neutre; positivement quand la droite sera au-dessus de la fibre neutre, négativement quand elle sera au-dessous.

La ligne de fermeture IJ, prolongée jusqu'aux verticales des appuis, ferait connaître M0 et Mt.

Nota. — Nous désignerons par ?/, au lieu de ?/, les ordonnées telles que Bb (fig. 435-1) de la fibre neutre comptées à partir de la ligne de fermeture.

(d) Démonstration du théorème. — Ce lemme étant admis, pour démontrer le théorème nous allons :

1° Supposer qu'un poids P est appliqué en un point A (la pièce étant un arc et non pas une poutre courbe) et calculer la poussée qui résulterait de cette charge ;

2° Calculer pour ce même point A l'ordonnée y" de l'élastique-hauteur que la pièce (étant une poutre courbe et non plus un arc) prendrait sous l'influence des moments dont la représentative a été trouvée fig. 435 et qui est reproduite fig. 436;

3° Prouver que cette poussée est, à un facteur près, que nous déterminerons, représentée par l'ordonnée y" de l'élastique-hauteur, ce qui justifiera, pour cette élastique, le nom de courbe de poussée.

AISCS A SOMMIERS ENCASTRÉS

Les calculs étant tout à fait analogues à ceux du n° 422, que l'on fera bien de relire, nous les expliquerons rapidement.

1° Poussée. — Le poids P (fig. 436) étant en A, d'abscisse X, donne une représentative des moments de charge représentée par la ligne brisée OA'D (fig. II). En un point B, d'abscisse x, lemoment a pour ordonnée représentative B,6] à laquelle répond un élément de surface, qui est :

B,/;, X = - : - \x. (comme au n° 422)

Nous le déformons et nous l'eifions, ce qui donne bl\il : El cos e ; après quoi cette quantité, considérée comme une force fictive élémentaire, est appliquée au point B de la fibre neutre (lig. I).

Elle contribue à la poussée définitive pour un élément que nous appellerons \t, et c'est ici que la démonstration diffère de celle du n° 422.

Nous avons vu dans le calcul graphique des arcs à sommiers encastrés (v. n° 428 bis a) que T étant le stabilicentre de poussée, P celui de charge et IJ la ligne de fermeture (fig. 429 bis I), la poussée se déterminait en fonction 1° des distances TT' et PP' des points T et P à la ligne 1J, 2" de la surface + de la courbe à cheval des moments de charge déforinés-eïfiés ; 3° de la surface aj -+de la courbe à cheval de poussée.

Dans le cas actuel nous avons une charge infiniment petite, appliquée en B (fig. 446), c'est donc ce point B qui, pour cette charge, joue le rôle de stabili-centre. Par conséquent dans la formule du n° 428 bis nous remplacerons PP' par y', ordonnée relative du point B par rapport à la ligne de fermeture et a/H-a,/- par(B,A, : El cos e) \x ; dès lors dans la formule (1) du n° 428 bis, qui était

PP'

TT a;; -H a;

en remplaçant t par \t, PP' par l'ordonnée relative y' zj' -+- v par la valeur ci-dessus, il vient :

et

V PL — X).r