EI COS

Remarquons que Tt X (V + V) ce serait l'écart de sommier X9 que la poussée 6 produirait sur la poutre courbe supposée à deux rotules, par conséquent le dénominateur du second facteur pourrait s'écrire X" (TT' : Tt).

C'est d'ailleurs l'écart de sommier que la poussée 0 produirait sur la poutre courbe ayant ses sommiers encastrés et non plus à rotules, en le désignant par X'", c'est-à-dire en écrivant

X"1 = X°(TT' : Tt), nous aurons

y' P: L — X)x ~> X L(EI cos s)

2° Elastique de poussée. — Au droit du même point B, le moment fléchissant a pour valeur By' ; après sa déforma-

tion et après son eification il donne un élément de surface qui est (fb/ : El cos e) àx. Il contribue pour un élément

que nous désignerons par aY, au déplacement en hauteur y" du point A, et exactement comme au n° 422, on aura

AY

y 1 El cos s L

On conclut des formules (1) et (2),

En totalisant les éléments de poussée M et les éléments de hauteur aY, le facteur (P : X'9) étant commun à tous les termes on aura, pour la poussée définitive t produite par le poids P arrivé en A, et pour l'ordonnée y" de l'élastique-hauteur de poussée répondant à ce même point A,

Le théorème est donc démontré et le coefficient de proportionnalité (y" : X'9) résulte de la démonstration.

(e) Tracé de la courbe de Poussée. — On pourrait la tracer directement par un funiculaire construit à l'aide des ordonnées relatives y' ; ou bien on pourrait l'obtenir en combinant, par addition algébrique, trois élastiques déjà connues, savoir :

1° L'élastique positive due à la poussée seule : c'est la courbe ou le polygone de la fig. 422 que nous avons désignée déjà sous le nom de courbe de poussée pour l'arc à deux rotules. Nous la prenons telle qu'elle est, puisque nous avons précisément 0 graphiquement égal à d.

2° L'élastique négative produite par le moment d'encastrement à l'origine M0 , moment que l'épure précédente nous a fait connaître. Nous la déduirons de l'élastique fi 0 (v. fig. 42I-III) en amplifiant les ordonnées de cette dernière dans le rapport M0 : \i.

3° L'élastique négative produite par le moment d'encastrement à l'extrémité M[ que nous déduirons de l'élas-

THÉORIE DES ARCS

tique p., (v. fig. 421-IV) en amplifiant ses ordonnées dans le rapport Mj : \x.

L'élastique-hauteur finale se déduit de ces additions algébriques, et, comme vérification, son côté initial et son côté final (ou bien sa tangente initiale et sa tangente finale, si c'est une courbe), doivent être confondus avec la corde de l'arc puisque les moments d'encastrement M0 et Mt ont eu précisément pour fonction de détruire les déviations angulaires aux sommiers que la poussée seule aurait produites sur la pièce à deux rotules.

435. Lignes d'influence dans un arc à deux sommiers encastrés. — La question se traite exactement de la même manière que pour l'arc à deux rotules (v. nos 424 et 425). On se servira de la nouvelle courbe de poussée comme on s'était servi de l'ancienne. 11 n'y aura rien de changé ni dans les calculs ni dans les traces.

436. Courbe de poussée et lignes d'influence dans un arc à un seul sommier encastré. — Supposons que ce soit le sommier d'origine qui possède un encastrement. On démontrera comme dans le cas précédent les points suivants :

1° La ligne de fermeture (v. fig. 42S bis II, page 39U) est la droite DI qui joint le sommier non encastré et le stabilicentre d'encastrement de l'autre sommier. Cela veut dire que si (v. fig. 434-11) on exerçait une poussée 0 — J sur

la poutre courbe, la représentative du moment d'encastrement qui en serait la conséquence serait la droite DI.

2' Si l'on construit l'élastique-hauteur qui est la conséquence de cette poussée, l'ordonnée y" d'un quelconque de ses points, A, donnerait, à un facteur près, la poussée t qu'une charge P, placée au même point A, déterminerait dans l'arc et l'on aurait :

À"1 étant l'écart de sommier produit sur la poutre courbe, par la poussée 6.

Cette courbe des déplacements en hauteur y" sera la courbe de poussée de tare.

On s'en servira, comme dans les autres cas, pour déterminer les lignes d'influence de moments fléchissants, d'efforts tranchants et d'efforts normaux.

Avertissement. — Dans le chapitre II qui va suivre, nous allons donner des applications simples des théories qui viennent d'être exposées. Ce ne sont pas de véritables projets que nous allons traiter mais plutôt des mises-entrain de projets. Nous étudierons :

1° Un arc avec deux sommiers à rotule et une charnière à la clé (ou arc à trois rotules) ;

2° Un arc avec deux sommiers à rotules;

3° Un arc avec deux sommiers encastrés.