ARC CONTINU SOUMIS A L'ACTION DU VENT

à l'heure devaient être augmentées, en valeur absolue, de la quantité é = (Mi — M,):L; soient -+- u' et — v' ces deux nouvelles réactions.

Construisons (fig. 446-11) sur les forces f^Uf: un dynamique dv', c'est-à-dire ayant pour distance polaire d — v', et son pôle w à plomb du point S lequel est à une distance du point J égale à la poussée t.

Les rayons polaires de ce dynamique donnent en grandeur et direction les résultantes successives qui, une fois mises en place, seront les côtés du polygone de pressions OiCiBiDj. Il ne reste qu'à mettre ces côtés en position. Faisons-le seulement pour le côté initial et tous les autres s'y mettront naturellement.

Soit Oi et Dls sur la corde de l'arc, les points inconnus par lesquels passeront le côté initial R0 et le côté final R15 on aura :

Om, . L

Om0 L

Nous pourrions le démontrer directement, mais ce sera une conséquence du nota du numéro suivant (n° 454).

On obtiendra 0, et D, comme suit :

On joint le point I, milieu de la corde, parce que la distance polaire est d = 1/2 L, à l'extrémité — v" du symétrique du point et l'on mène 7)100, parallèle à la droite lu", ce qui donne le point 0,.

On aura de même le point D, par lequel doit passer le côté final R, du polygone des pressions, lequel est obtenu en 0,G|CiBiAiD,. Comme vérification :

1° Ce polygone doit se fermer sur le point D,, et 2° ses abscisses relatives 6,B,, «, A, , etc., doivent être une dilatation, dans le rapport constant 0,D, : 2t/, de celles du funiculaire du corbeau b'B', a' A'... de la fig. 442-VI.

Nota. — On pourrait hésiter pour savoir si 0, doit être à droite ou à gauche de 0. Si M0 est positif, R0 étant dirigé de gauche à droite, R0 doit être en dessus de 0, et par suite 0, doit être à gauche de 0. Ce serait le contraire si M„ était négatif.

454. Efforts dans chaque section. — (a) Moments fléchissants. — Théorème : « Les moments fléchissants sont « proportionnels aux segments horizontaux interceptés entre « la fibre neutre et la courbe des pressions; le coefficient de « proportionnalité est la réaction verticale des appuis. »

Démontrons-le pour le cas général de l'arc à deux sommiers encastrés.

Soit N (fig. 446) un point de la libre neutre pour lequel nous voulons calculer le moment fléchissant définitif. Lorsque nous sommes au point N, la résultante de toutes les forces qui agissent sur l'arc, entre le sommier d'origine et ce point, est donnée en position par le côté B,Ai du polygone des pressions, et en grandeur par le côté o>f2 du dynamique (fig. II). Le bras de levier du couple de flexion est la perpen-

diculaire Nn (ûg. I), abaissée du point N sur la force A,B,, et le moment fléchissant a pour valeur M„ = wf2 X Nn.

Soit NN, l'horizontale interceptée entre le point N de la fibre neutre et le côté A,B, du polygone des pressions. Les triangles rectangles NN,n et wS/"2 sont semblables et donnent :

d'où

ùf2 X Nn = NN, X «S,

NN, Nn et par suite M„ = NN, X

Le théorème est donc démontré. Le coefficient de proportionnalité est la distance polaire »', c'est-à-dire la réaction verticale des sommiers.

Nota. — 1° Sommiers. Le théorème est vrai pour les sommiers ; on aura donc

M0 = 00, X v\ et comme M0 = Ow0 X 1/2L, attendu que 1/2 L est la distance polaire, on a

DD,

Om,

Ce sont les valeurs de OOi et DDa annoncées ci-dessus.

2° Signes. Les moments sont positifs lorsque le polygone des pressions est à gauche de la portion de fibre neutre à laquelle il répond ; ils sont négatifs dans le cas contraire.

Sur la fig. 446, les moments sont positifs de 0 en a et de p en D; ils sont négatifs de a en [3.

{h) Efforts normaux et efforts tranchants. — On les

trouve exactement comme dans le cas de forces verticales. Refaisons le tracé pour la section N : (même fig. 446.)

1° On mène (fig. I) la normale à la fibre neutre ;

2° Sur le dynamique (fig. II) on mène f2T parallèle à cette normale et wT perpendiculaire; ce qui donne en foT l'effort normal et en a>T l'effort tranchant.

455. Arc à trois rotules (fig. 446 bis). — Nous avons vu (v. n° 412) que dans un pareil arc la ligne des pressions de-

Fijl 44ii bis

vait passer par chacune des trois rotules, ce qui détermine statiquement la poussée, sans faire intervenir les défigurations élastiques.

Dans le cas actuel, le premier côté R0 du polygone des

pressions se tracera donc a priori de la rotule 0 à la charnière E sur la fig. I, et de J en co sur le dynamique (fig. II). On aura déterminé, comme ci-dessus,, par le funiculaire du corbeau, la réaction v des appuis, et (fig. II) on aura donc par recoupement en w le pôle du dynamique, d'où l'on déduira en JS la poussée t. Cela fait : la ligne des pressions se trace en OGiC^AtD de la même manière que dans les exemples précédents.

456. Conclusions du chapitre III. — En résumé, ce chapitre a pour objet d'étudier les effets produits, sur un arc, par des forces dirigées d'une manière quelconque. Nous aurions pu traiter la question en prenant directement ces

EN ARCS

forces, sans les décomposer, au préalable, en composantes verticales et en composantes horizontales. Mais les dynamiques et les funiculaires qui eussent été la conséquence de cette manière de procéder eussent été tout à fait quelconques ; leur plus grand inconvénient eût été, pour l'appréciation des moments fléchissants, de nous obliger à changer de distance polaire pour chaque nouveau moment à évaluer (v. n° 34).

La méthode que nous venons d'exposer et que nous devons à M. Cordeau, ingénieur, nous permet, au contraire, de garder une distance polaire toujours la même et d'appliquer, en outre, les tracés à la fois si simples, si exacts et si peu encombrants de M. Collignon.