Simplification de la construction précédente. — On
peut se dispenser de construire le deuxième funiculaire en profitant des remarques suivantes :
Soient 1, 2, 3, 4 les centres de gravité respèctifs des trapèzes suivant lesquels la surface totale a été décomposée.
Les centres de gravité respectifs des deux premiers trapèzes élémentaires étant en 1 et en 2, le centre de gravité de leur ensemble doit rester sur la droite 1 — 2. D'un autre côté il doit être aussi sur la ligne d'action de la résultante des forces ft et f.2, ligne d'action qui est verticale et qui passe par le point r, du funiculaire (v. n° 24). Le centre de gravité de l'ensemble des deux premiers trapèzes est donc placé en gt à l'intersection de la droite 1 — 2 et de la verticale du point i\.
Un raisonnement sembabie montrerait que le centre de gravité de l'ensemble des trois premiers trapèzes élémentaires se trouve en g.2 à l'intersection de la droite g{ — 3 avec la verticale du point ?v
Enfin on verrait de même que le centre de gravité de la
figure totale est au point G, intersection de la droite g2 — 4 et de la verticale du point I.
69. Méthode arithmétique. — Il est souvent plus commode de déterminer la position du centre de gravité d'une surface par la méthode arithmétique. On procède alors de la manière suivante (figure inutile) :
Après avoir décomposé la surface proposée en aires élémentaires faciles à mesurer, telles que triangles, rectangles, ou petits trapèzes qui en diffèrent peu, on détermine le centre de gravité de chacune de ces aires élémentaires ainsi que sa surface, puis, choisissant arbitrairement deux axes rectangulaires OX et OY, on calcule les moments par rapport à ces deux axes, de forces égales aux aires élémentaires et appliquées en leur centre de gravité.
Soient M., la somme des moments par rapport à l'axe OX, My celle relative à l'axe OY, S la somme des aires élémentaires, xt et yi les coordonnées du centre de gravité ;
on a x{ = — ' et yl — — -• Ces différentes opérations
sont facilitées par l'emploi d'un tableau du type suivant :
Type de tableau pour la recherche arithmétique des centres de gravité
Dimensions réduite* des aires élémentaires
Surfaces
Coordonnées des centres de gravité
Moments partiels
OBSERVATIONS
Longueur
Largeur ou hauteur
élémentaires
par rapport à XX'
par rapport a YY'
Résultats.
Surface totale S =
Mx
My
Les colonnes 1, 2, 4 et 5 sont faciles à remplir ; les nombres qu'elles contiennent résultent de dimensions prises sur le dessin :
Les nombres de la colonne 3 sont les produits de ceux des colonnes 1 et 2 ;
Les nombres de la colonne 6 sont les produits de ceux des colonnes 3 et 5 ; ceux de la colonne 7 sont les produits des colonnes 3 et 4.
Le total de la colonne 3 fait connaître la surface S, les totaux des colonnes 6 et 7 font connaître M.,, et My.
Cette méthode est très rapide, surtout lorsqu'on peut se servir de la règle à calcul pour faire les produits.
