Direction et intensité d'une poussée quelconque

Imaginons que la séparation des terres se fasse suivant un plan de séparation quelconque 6X (fig. 463). HôXE sera le coin de poussée; soit Q son poids, appliqué au centre de gra-

STAB. 56

LES POUSSÉES

vité G de ce coin; il exerce une certaine pression sur les plans bll (parement intérieur du mur) et bX (plan séparatif), et inversement ces plans exercent sur lui des réactions qui, s'il n'y avait pas de frottement, seraient dirigées suivant N et N' et seraient respectivement normales à ces mêmes plans bll et bX.

A cause du frottement, au moment où le mouvement de glissement se produit, ou tend à se produire, les réactions F et F' sont déviées de la normale et font avec cette dernière, du côté opposé à celui vers lequel le mouvement tend à se produire, un angle égal à l'angle de frottement. Cet angle est égal à tp pour le frottement de terre sur terre; supposons qu'il soit en tp' pour le frottement des terres sur la maçonnerie du mur (v. plus loin à Nota).

Puisque le coin de poussée est en équilibre, c'est que les trois forces Q, F et F' sont en équilibre ; par suite, elles se rencontrent en un même point, et l'on doit pouvoir former avec elles un triangle dynamique fermé (fig. 463-11).

La poussée sur le mur est égale et de signe contraire à la force F'; elle fait avec la normale au parement, et au-dessus de cette normale, un angle tp' égal à l'angle de frottement des terres sur les maçonneries.

Nota. — L'angle ©' de frottement des terres sur les maçonneries est en général très peu différent de l'angle o de frottement des terres sur elles-mêmes; d'ailleurs si le parement intérieur du mur n'est pas enduit, le frottement a lieu sur une couche de terre adhérente à la maçonnerie, et par suite, dans les applications, on peut prendre tp' = tp.

Il résulte de ce qui précède, que si nous connaissons la position du plan de séparation bX, la poussée sera déterminée en direction et en intensité ; en effet, dans le triangle dynamique (fig. II), nous connaîtrons alors le côté Q et les directions des deux autres côtés. Le problème revient donc à trouver le plan de séparation bX, auquel répondrait la poussée maxima. Si le plan de séparation coïncidait avec le parement intérieur bE du mur, il est évident que la poussée serait nulle, car le prisme de poussée aurait un volume nul. Il en serait de même s'il coïncidait avec le plan bV du talus naturel, car alors la force 0 ferait avec la normale au plan bV précisément l'angle tp, et la force F serait égale et contraire à Q et équilibrerait le poids du prisme. On peut encore comprendre ce fait en se rappelant qu'un corps (ici le coin de poussée) posé sur un plan (ici le plan bV) ne glisse pas sur ce plan si ce dernier est incliné à l'angle de frottement.

On conçoit qu'entre ces deux positions extrêmes, bE et bV, il yen aura une pour laquelle la poussée sera maxima; c'est cette position que nous allons déterminer; nous en déduirons, ensuite, la grandeur de la poussée maxima.

488. Grandeur de la poussée maxima. — (a) Le profil du terrain est quelconque. — Prenons (ûg. 464) le cas

tout à fait général où le mur A a son parement intérieur plan, mais incliné sous un angle quelconque bO, et où le cavalier en terre a un profil courbe quelconque OMT.

Par le pied b du mur, menons la droite bT, inclinée à l'angle <p du talus naturel des terres; divisons le secteur de terre Obi, compris entre le mur et le talus naturel, en secteurs plus petits par des plans 1, 2, 3, 8 divergeant du point b, et cherchons (fig. II) les poussées qui répondraient à chacun de ces plans de séparation. Nous conseillons de prendre les angles formés par ces plans d'essai égaux entre eux, ce qui se fera en traçant l'arc de cercle OS, que nous nommerons le cercle rapporteur, et en le divissant en parties égales. Raisonnons pour le plan 4.

On a calculé les surfaces et, par conséquent, les poids p,p,-.J04 de chacun des secteurs partiels, et (fig. II) sur un dynamique on a porté ces poids de b' en p4 bout à bout, ce qui a donné en b'pk le poids total du secteur OhA. Ce poids doit être équilibré par deux réactions, savoir :

1° La réaction du mur , laquelle est parallèle à WW (Gg. I) et fait avec la normale au mur l'angle tp' ; c'est pourquoi sur le dynamique (ûg. II) nous commençons par mener parallèle à WW.

2° La réaction du plan de terre 64, laquelle aurait une direction faisant, avec la normale à ce plan, l'angle tp de frottement de terre sur terre. C'est pourquoi, sur le dynamique (ûg. II), nous menons b'Â! parallèle à cette direction. (Nous dirons plus loin, à nota, comment cette direction est .trouvée.)

Nous obtenons ainsi en b'p^fu le dynamique qui établit l'équilibre du secteur de terre considéré, et p^fs, est la grandeur de la poussée correspondante.

On opère de même pour tous les autres secteurs et l'on obtient en fif.2.,-f- les extrémités des poussées correspondantes. On joint ces points par une courbe qui sera la courbe des poussées; on mène à cette courbe une tangente verticale M' et la poussée correspondante à M' est la poussée maxima . Elle répond à un poids de secteur P et à une réaction du plan séparatif mesurée par b'M.'.

Nota. — On obtient comme suit (fig. II) les directions des réactions des plans séparatifs.

Remarquons d'abord que, pour le dernier plan séparatif bT, incliné au talus naturel des terres, la réaction serait verticale et que, sur le dynamique, elle serait représentée en grandeur et direction par b'T'. Lorsque nous passons du plan bT aux plans 7, 6, 5, faisant entre eux des angles mesurés par les arcs du cercle rapporteur OS, la réaction suit ces plans dans leur mouvement de rotation ; par conséquent, décrivons (fig. II) le même cercle rapporteur S'O', reportons sur lui. en 7', 6', 5', les mêmes arcs que sur le premier et nous aurons en b'T — b'&, etc.. . les réactions successives. Inversement du point M, qui répond au ma-

POUSSÉE DES TERRES

ximum de la poussée, on déduit (flg. II) la réaction b'W et le plan séparatif correspondant bM. (flg. I).

[b) Le profil du terrain est polygonal (flg. 465-1). — Si, comme cela se rencontre dans les fortifications, le profil du

terrain OARCD est polygonal, il vaut mieux diviser en parties égales les côtés du polygone plutôt que de diviser le cercle rapporteur. On décompose ainsi le secteur OJD, compris entre le mur et le talus naturel JD, en quatre séries de

triangles égaux dont on évalue les surfaces. Par exemple (fig. 465), les trois triangles répondant à OA ont pour hauteur h = 9m,10 et pour base l-,32, leur surface est donc égale à 9,10X 1,32 = 12m2,01.

Surfaces

Fig. 465

On verra de même que AB comporte 4 triangles de chacun 16m2,80; que BC correspond à 3 triangles de 19m2,89, et que CD comprend 3 triangles de 13m2,12. Aux divisions égales des côtés du polygone correspondent des divisions inégales i, 2, 3, 13 sur le cercle rapporteur. (Voir fig. II, page suivante).

L'épure s'achève comme dans le cas général, et donne en

JM le plan séparatif de poussée maxima, et (fig. II) en m'M' la valeur de la poussée correspondante, évaluée en mètres carrés.

Pour l'avoir en poids, on multipliera par le poids de 1 m. cube de terre, soit 1800 k.

Exemple. — On trouve m'M' = 46m2, donc on a pour la poussée maxima F' = 46 X 1800 = 82800 k.

LES POUSSÉES

Telle est la poussée maxima exercée sur une tranche de mur de 1 mètre de largeur et répondant à la hauteur de mur OJ.

(c) Tracé de Poncelet. (Voir, pour sa démonstration, la note à la fin du chapitre.) — 1° On mène la droite OK parallèle à JA et on prend en K son intersection avec le profil BA prolongé. (V. fig. I, page précédente).

465 bis

2° Parle point J, on mène la droite Jw, faisant avec le parement intérieur du mur un angle égal à o-\-o', et on prend en to son intersection avec la même droite BA prolongée.

3° Par le point K on mène une parallèle au talus naturel des terres et on prend en K' son intersection avec la droite Jw précédente

4° Sur JK\ comme diamètre, on trace une demi-circonférence et, du point u>, on lui mène une tangente io£.

5° On rabat cette tangente de iot en sur la droite wj et par le point x' on mène une parallèle x'X' au talus naturel, jusqu'à la rencontre en X' avec le côté AB du profil ; enfin :

6° Le plan séparatif de poussée maxima est le plan JX'.

[d) Remarques. — 1° Nous ne devons pas trouver ainsi tout à fait la même droite JM' que par le tracé de la courbe de poussée; cela tient à ce que le point X' donné par la méthode de Poncelet tombe en dehors de la partie utile du profil AB. ("Voir la note c.)

2° Si l'on emploie la méthode de la courbe des poussées, il suffira de tracer cette courbe aux environs du maximum M' et l'on remarquera que la section correspondante JM' est toujours aux environs de la bissectrice de l'angle DJO, plutôt au-dessous qu'au-dessus de cette bissectrice.

3° Les arcs Oa', a'b', b'c', — c'D (fig. II) de la courbe de poussée, qui répondent aux côtés rectilignes OA, AB — BC — CD du profil, sont des arcs d'hyperbole. On le démontrera par la géométrie analytique.

489. Point d'application de la poussée maxima. — (a) Le terre-plein est un plan unique. — Soit BH (fig. 466) le parement intérieur d'un mur soutenant un massif de terre dont le terre-plein est un plan unique affleurant la partie supérieure H du mur ; soit BX le plan séparatif de poussée maxima correspondant à la hauteur BH. Il est évident 1° que les plans séparatifs correspondant à des hauteurs b'K et b"E, seront b'X' et b"X", parallèles entre eux et parallèles à BX et 2° que les poussées de chacun des triangles partiels seront proportionnelles à leurs surfaces, c'està-dire aux poids de terre qu'ils représentent. Elles auront toutes la même direction F' faisant avec la normale au parement du mur l'angle o de frottement des terres sur la maçonnerie.

Il en résulte que si on considère la tranche infiniment mince b'X'X"b", qui est la différence entre deux triangles successifs de poussée Rb'X' et H6"X", elle donnera pour son compte une poussée élémentaire dont le point d'application sera situé entre les points // et b" et dont la direction sera celle de F'; la grandeur de cette poussée élémentaire sera proportionnelle à la différence des surfaces des triangles de poussée, c'est-à-dire proportionnelle à la surface du trapèze infiniment mince b'X'X"b" ; en admettant que la longueur élémentaire b'b" soit la même pour tous les trapèzes élémentaires analogues, les surfaces sont proportionnelles aux bases moyennes parallèles à b'X.'.

Soit biB' la valeur de cette poussée élémentaire ; toutes les tranches analogues donneront des poussées élémentaires représentées par les ordonnées obliques, telles que 6,'B',

Fig, 4«6

Fig. 467

d'un triangle HBBj. Le mur sera donc soumis à une série de forces parallèles à BBj agissant en ses divers points et égales respectivement aux ordonnées obliques successives du triangle. La résultante de toutes ses forces, qui est la poussée, passera par le centre de gravité du triangle, et par suite viendra rencontrer le mur au point G situé au tiers du parement à partir de la base ; ce point est le point d'application de la poussée.

POUSSÉE DES TERRES

(b) Le profil est quelconque (fig. 467). — Supposons déterminées les poussées Ft, F2, F3, etc., surleshauteursde parement 6,H, 6.2H, b3H, etc. Si les divisions bjj2, b2b3, etc. sont suffisamment petites, la poussée élémentaire f2 sur l'élément M-2, par exemple, est égale à la différence F2 — Fi ; de même la poussée élémentaire sur l'élément b2b3 est égale à la différence F3 — F2, et ainsi de suite.

On peut considérer chacune de ces poussées élémentaires comme ayant son point d'application au centre de figure de l'élément de mur correspondant. La poussée totale s'obtiendra en composant, par un funiculaire, les poussées élémentaires appliquées aux différents éléments du mur. Cette méthode exige des constructions assez longues et pénibles, et il n'est pas, en général, nécessaire de l'employer dans les applications.

Le général Poncelet a démontré que la poussée, pour les profils ordinaires employés dans la fortification, n'est jamais appliquée plus haut que les 0,35 de la hauteur à partir de la base du parement ; et qu'on se mettra toujours dans les conditions les plus défavorables en la supposant appliquée aux 0,366 de la hauteur.

Dans les applications ordinaires, nous la supposerons toujours appliquée au tiers de la hauteur du mur à partir de la base, ce qui répondra aux 0,333 de la hauteur.

490. Le terrassement supporte une surcharge. — (a) La surcharge est uniformément répartie. — Soit BH le parement intérieur du mur, le terrassement étant terminé par un terre-plein horizontal HL (flg. 468).

Représentons la surcharge, uniformément répartie, par un massif de terre de même densité que le terrassement et

Fig. 468.

limité, à sa partie supérieure, par un plan horizontal MN ; nous admettrons que la rupture, dans cette surcharge, se produit suivant une verticale.

Nous chercherons le plan séparatif bX de poussée maxima en faisant l'épure de la courbe des poussées comme il a été dit (v. n. 488). A cet effet, après avoir divisé HL en parties égales nous évaluerons le poids des secteurs ainsi déterminés.

Si la surcharge n'existait pas, ces poids seraient ceux des triangles tels que fbf' et ils seraient égaux entre eux. Si la surcharge existe, il faudra les augmenter des poids des rectangles qui les surmontent ; ils seront plus grands que dans le premier cas mais encore égaux entre eux. La courbe de poussée obtenue dans le second cas (fig. III) sera donc une dilatation en hauteur et en largeur de celle qui répond au premier cas (fig. II). Elle lui sera homothétique par rapport au point de départ supérieur 0 ou 0' et la tangente verticale qui donne le maximum donnera, comme conséquence, le même plan séparatif bX' (fig. I) de poussée maxima.

(b) La surcharge est inégalement répartie (fig. 469). — Représentons celte surcharge par un massif de terre de même densité que le terrassement, mais ne s'étendant que sur une partie du terre-plein, et dont le profil aura la forme d'un rectangle AA'BB', voire même d'un trapèze ou d'une figure quelconque (fig. 469) ; admettons que la rupture dans cette surcharge se fasse encore suivant une verticale.

Fig. 469

Si la surcharge n'existait pas, nous diviserions l'intervalle HL en parties égales et inégales, nous diviserions le secteur total en secteurs plus élémentaires 1, 2, 3, .... 8 et nous en déduirions, par une courbe des poussées à laquelle (fig. II) nous mènerons une tangente verticale X, le plan séparatif de poussée maxima bX (fig. I). Il tombe entre les rayons 3 et 4.

Si la surcharge existe, nous tracerons, de même (fig. III), une courbe des poussées à laquelle nous mènerons une tangente verticale Y nous faisant connaître le plan séparatif de poussée maxima 6YY'.

Il n'est pas le même que tout à l'heure. En effet, la courbe de la figure III n'est pas du tout semblable à la courbe de la figure I, puisque tandis que, sur chacune d'elles, les rayons issus de 0 et de 0' sont parallèles, de même que les ordonnées obliques, les abscisses ne sont pas proportionnelles. Sur ces deux figures entre 0 et 2, de même qu'entre 5 et 8, c'est-à-dire hors de la charge, elles sont égales ; tandis qu'entre 2 et 5, c'est-à-dire sous la charge, elles sont plus grandes dans la figure III que dans la figure II.

LES POUSSÉES

Remarque. — Dans les deux cas où les terrassements supportent des surcharges, le point d'application de la pous-

sée n'est plus au tiers de la hauteur du parement ; on devra le déterminer par la méthode indiquée au n° 489-6.

8 3. -- Poussée de l'eau. — Poussée du vent