Théorème I, dit du moment d'inertie polaire. — Le

moment d'inertie polaire d'une surface est égal à la somme de deux quelconques de ses moments équatoriaux pris par rapport à deux axes OX et OY perpendiculaires entre eux et passant par le pôle.

Fig. 56

Corollaire. — La somme de deux moments d'inertie d'une surface pris par rapport à des axes perpendiculaires entre eux et passant par un point fixe 0 est constante.

76. Théorème II, dit du centre de gravité. — Moments d'inertie centraux (fig. 57, v. page suivante).

Considérons une surface ABC dont L- est le moment d'inertie par rapport à un axe OX passant par son centre de gravité G et proposons-nous de trouver la relation qui existe entre lx et le moment d'inertie de la même surface par rapport à un autre axe O'X', parallèle au premier et séparé de celui-ci par la distance a. Soit L' le moment d'inertie par rapport au nouvel axe O'X'.

Prenons un élément de surface w dont les ordonnées par rapport aux deux axes sont y et y' ; on a d'abord y' = y rf- a.

Les moments d'inertie de cet élément par rapport aux mêm,es axes seront

ix - = wj/2 et ix' = wy'2 = w(y -+- a) 2 = w (j/2 -+- 2ay -+- a2).

Si nous faisons la somme de tous ces moments élémentaires nous obtiendrons les moments d'inertie totaux I,, = Swj/2 et Jy = Xto?/2 -+- 2aSojy 4- (t-ïo>.

Mais dans le 2e membre de l'expression la quantité Ewy3 c'est I„ ; Swy c'est le moment statique delà surface ABC par rapport à l'axe OX, moment qui est nul puisque l'axe OX passe par le centre de gravité G; donc 2aZo>y = 0.

1 Si. &

Quant à 2w c'est la surface ABG = u; a2ïM est donc le produit de la surface ABC par le carré de la distance de son centre de gravité à l'axe OX', produit que nous pouvons représenter par lia2.

Nous pouvons donc énoncer ainsi le théorème du centre de gravité.

Théorème II, dit du centre de gravité. — Le moment d'inertie Iy d'une surface, par rapport à un axe quelconque, est égal à son moment d'inertie par rapport à un second axe parallèle au premier mais passant par son centre de gravité, augmenté du moment d'inertie, par rapport au premier axe, du centre de gravité auquel on aurait concentré toute la surface il.

Corollaire. — Les moments d'inertie par rapport aux axes passant pur le centre de gravité sont plus petits que tous ceux qui sont pris par rapport à des axes qui leur seraient parallèles.

77. Moments centraux d'inertie. — On nomme moments centraux d'inertie ceux qui se rapportent à des axes passant par le centre de gravité.