DES AIRES PLANES

Dans ce qui va suivre, et à défaut d'indication contraire, nous supposerons toujours que l'axe par rapport auquel on prend le moment d'inertie passe par le centre de gravité'de la surface.

78. Rayon de giration. — Soit une surface ABCD (fig. 58), d'aire totale égale à il et dont nous avons trouvé le moment d'inertie ïx par rapport à un axe OX ; si en dehors de cet axe nous prenons un point M auquel nous supposerons concentrée toute la sur face û, en appelant d la distance de l'axe OX à ce point, le moment d'inertie de M sera i>d2. Si en outre d est tel qu'on ait

lx = iîd2 ou d- = — ,

la quantité d sera ce que nous nommerons le rayon de giration.

78 bis. Point d'inertie condensée. — De sorte que si nous désignons sous le nom de point d'inertie condensée le point M

Fig. 58

qui satisfait "aux conditions indiquées ci-dessus, nous pourrons dire que le rayon de giration dx relatif à un axe <>X est la distance de cet axe à tout point d'inertie condensée.

78 ter. Droite d'inertie condensée. — Au lieu d'un point M d'inertie condensée nous aurions pu supposer une droite EF de longueur quelconque, parallèle à OX et sur laquelle aurait été concentrée toute la surface Q ; le moment d'inertie de cette droite, pour être égal à ïx, aurait dû être ild2 et la droite remplissant ces conditions aurait été pour nous une droite d'inertie condensée; de sorte que nous pouvons dire également que le rayon de giration d., relatif à un axe OX est la distance de cet axe à toute droite d'inertie condense'e. .

§ 2. — Ellipse centrale d'inertie

79. Axes principaux d'inertie. — Nous avons dit (n° 74) que l'expression w?/2 est le moment d'inertie de l'élément io de surface par rapport à l'axe des x ; nous l'avons désigné par ix; c'est un moment du second degré que l'on pourrait appeler un moment carré parce que y entre au carré dans son expression.

On pourrait aussi considérer l'expression «r*/; nous la nommerons un moment rectangulaire parce qu'il y entre le même produit (x X y) que celui qui donnerait la surface d'un rectangle construit sur les coordonnées x et y.

Entre les moments carrés wx2 ou un/2 et les moments rectangulaires uxy ia différence essentielle consiste en ce

•ELLIPSE CENTRALE DINEUTIE

que les premiers sont toujours positifs, même si x ou si y sont négatifs, tandis que les moments rectangulaires peuvent être négatifs, et ils le sont lorsque x et y sont de signes contraires, ce qui arrive pour les points tels que N et N (fig. 59) situés dans le 2e et le 4° quadrant.

Dès lors, si l'on fait la somme de tous ces moments pour avoir ïmi/2 ou I.r, Suxr2 ou \y et ïuxy, tandis que I, et ly donneront toujours une quantité positive, l'expression Staxy sera positive si le total des uxy positifs l'emporte sur celui des négatifs, elle sera négative dans le cas contraire.

Je dis qu'il suit de là que, pour une direction convenable des axes, le moment rectangulaire peut être nul.

En effet, supposons que pour la position OX et OY (fig. 59) le moment rectangulaire ïmxij soit positif; si l'on

2? Quadrant.

V? Quadrant.