Des égalités en algèbre

(a) Les identités et les équations. — Une égalité est la réunion par le signe égal (=:) de deux expressions algébriques.

Une identité est une égalité dont les deux membres sont des expressions algébriques équivalentes.

Toutes les égalités qui réunissent des opérations algébriques, directes ou inverses, sont donc des identités.

Une équation est une égalité qui ne se transforme en identité que pour certaines valeurs, arithmétiques ou algébriques, attribuées à certaines lettres.

Ces lettres représentent les inconnues de l'équation ; on choisit ordinairement pour désigner les inconnues les lettres telles quo x, y, %, u... qui sont à la fin de l'alphabet.

Les valeurs particulières des inconnues qui transforment l'équation en identité sont dites les racines de l'équation.

(b) De l'équivalence de deux équations. — Deux équations sont dites équivalentes lorsqu'elles admettent les mêmes racines.

Théorème I. — Si l'on ajoute une expression algébrique (même contenant l'inconnue) aux deux membres d'une équation, la nouvelle équation ainsi obtenue est équivalente à la première.

Conséquence. — On peut faire passer un terme d'un membre d'une équation dans l'autre membre, à la condition de changer son signe.

Théorème II. — Si l'on multiplie les deux membres d'une équation par une même expression algébrique, ne renfermant pas l'inconnue, on obtient une équation équivalente a la première.

Mais si l'expression par laquelle on a multiplié renferme l'inconnue, la nouvelle équation obtenue admet comme racines, en plus de celles de, l'équation proposée, celles de l'équation qu'on formerait en égalant a zéro l'expression par laquelle on a multiplié les deux membres de l'équation primitive.

Conséquence. — On peut faire passer en numérateur dans uu membre

une expression qui est en dénominateur dans l'autre (cela s'appelle chasser le dénominateur) et inversement.