Formules préliminaires d'identité

(a) Rappel des formules d'identité . — On a identiquement (v. n° 2)

(a + b)2 = a3 -+- lab -+- b2 [a — b)2 = a2 — 2ab + b2 M2 — N2 = (M + N)(M — N) et si A el R sont positifs,

(b) Annulation d'une expression algébrique. — 1' Pour qu'un produit de deux facteurs soit nul, il faut et il suffit que l'un des deux facteurs soit nul.

Ainsi (x — x)(x — (3) = 0 entraine

x — se = 0 qui donne x == a ou x — |3 =. 0 qui donne x =

2° La somme de deux carrés ne peut jamais être nulle, puisqu'un carré est tou jours positif, à moins que chacun d'eux ne soit séparément nul. 3° La différence de deux carrés peut être nulle, s'ils sont égaux.

(c) Problème. — Compléter un carré.

x2 ->rpx

px

Si le terme en x1 a un coefficient, on le met en facteur et on opère de même comme l'indiquent les identités suivantes :

ax2 -f- bx — a ( x2 -f- — x

, = a(x2 - \ *•) = «[(*- A) - AJ

(d) Transformation du trinôme du second degré. — Amener le trinôme du second degré y — a;4 -4- px -+- q à se présenter sous la forme d'une somme ou d'une différence de deux carrés et, dans ce dernier cas, l'amener a la forme d'un produit de deux facteurs du premier degré.

Il faut opérer comme suit :

1° Compléter le carré.

x2 -f- px + q

pi

ire Hypothèse.

Le trinôme se ramène dès lors à une différence de deux carrés

On a alors M2 — N2 = (M + N)(M — N) ; c'est-à-dire :

2e Hypothèse.

Le trinôme est alors équivalent à une somme de deux carrés, et on ne peut pas l'amener a la forme d'un produit de deux facteurs du premier degré.

9 Résolution de l'équation x* -h px + q = 0.

On amène le trinôme à être une somme ou une différence de deux carrés comme il a été indiqué ci-dessus ; dès lors ;

1er Cas. — Si — — q <; 0 c'est une somme de deux cariés qui ne

peut jamais s'annuler. L'équalion n'est donc pas résoluble ; on dit alors que ses racines sont imaginaires .

2e Cas. — Si — — (/ > 0 c'est une différence de deux carrés ; le trinôme peut s'annuler, il a des racines réelles. On le transforme alors en un produit de deux facteurs du premier degré, comme l'indique la formule (5) cidessus :

qui s'annule pour

, d'où ' — n i '

COMPLEMENTS DE MATHEMATIQUES

2° Dans la parenthèse, on complète le carié

a;' et x' sont les expressions des deux racines.