Variations des lignes trigonométriques d'un arc
D'après les conventions que nous avons faites relativement à l'angle de deux directions (v. u° 21), nous aurons a considérer des angles positifs ou négatifs, mais d'une valeur absolue toujours inférieure à it.
(a) Variations du sinus.
D'après la définition du sinus, tout arc terminé dans le premier ou dans le deuxième quadrant aura son sinus positif ; tout arc terminé dans le troisième ou le quatrième quadrant aura son sinus négatif. Donc :
« Tout arc a positif et compris entre 0 el tt a son sinus positif; tout « arc x négatif, compris en valeur absolue entre 0 et tt a son sinus négatif. »
Un arc croissant de 0 à ^, le sinus croit de 0 à 1 : l'arc continuant à
croître de - k it, le sinus décroît de 1 à 0. (Voir plus loin le tableau résumé des variations des lignes trigonométriques.) (6) Variations du cosinus.
Tout arc terminé dans le premier ou dans le quatrième qieadra.nt a son cosinus positif: tout arc terminé dans le deuxième ou le troisième quadrant a son cosinus négatif. Donc :
« Tout arc a, positif ou négatif, compris en valeur absolue entre 0 et^
STAB. COMP' 2
COMPLEMENTS DE MATHEMATIQUES
« a son cosinus positif ; tout arc a positif ou négatif, compris en valeur ab- « solue entre -1" et t. a son cosinus négatif.
Un arc croissant de 0' à — , son cosinus décroit de 1 a 0 ; l'arc continuant à croître de — a it, le cosinus devient négatif et croît en valeur absolue de 0 a 1. (V. plus loin le tableau résumé.)
(c) Variations de la tangente. — Tout arc terminé dans le premier ou dans le troisième quadrant a sa tangente positive ; tout arc terminé dans le deuxième ou le quatrième quadrant a sa tanqente négative. Donc :
« Tout arc positif compris entre 0 et ^ a sa tangente positive; tout arc positif compris entre ^ et it a sa tangente négative ; tout arc négatif compris «ntre 0 et -, en valeur absolue, a sa tangente négative ; tout arc négatif compris entre ï et -, en valeur absolue, a sa tangente positive. »
Lorsqu'un arc passe de 0 à -, sa tangente part de 0 et croît de plus en plus ; lorsque l'arc devient -, la tangente n'existe plus ; mais comme un peu avant que l'arc atteigne cette valeur E la tangente est très grande, ou dit que pour la valeur elle devient infinie.
L'arc croissant au-delà de ~ f la tangente devient négative, et pour les valeurs très peu supérieures à!E, elle a une valeur absolue très grande.
C'est pourquoi on dit que lorsque l'arc passe par la valeur -, sa tangente
saule brusquement de -j- oo à — oc. Elle redevient zéro lorsque l'arc égale t..
(d) Variations de la cotangente. — La cotangente d'un arc est toujours de même signe que sa tangente.
On montrerait, de même que pour la tangente, que lorsqu'un arc croît de 0 a
H, sa cotangente décroit de -4- oo à 0 ; l'arc continuant à croître de — a -, sa 2' ' 2
cotangente décroît de (la — ce .
(e) Tableau résumé des variations des lignes trigonométriques.
Positif
Négatif
cos x
te «
)— GO j
cote a
24. Relations fondamentales entre les lignes trigonométriques d'un même arc.
1° Le triangle rectangle MOP (lig. 18) nous donne MP*-|-OP- = OM2 ou (1) siu2 a + cos2 a = 1 .
2° Les triangles semblables O.MP, OTA donnent AT OA
d'où
