MP OP MP
AT = ^XOA
tg a
sin a
Fig. 18
3° Les triangles semblables OMQ, OSB donnent BS OB MO — ÔQ '
d'où
BS=HgxOB
cotg a
cos a
sin a
4" Des deux relations précédentes (2) et (3) sin a
tg a =
et
cotg a -
cos a
cos a sin a
on tire, en les multipliant membre a membre, •
(4) tg a X cotg a = i,
ce qui confirme le fait indiqué au nu 23-d que la tangente et la cotangente d'un arc sont toujours de même signe.
Nota. — On démontrerait de la même manière, mais en tenant compte des signes, ces relations dans les 4 cas du n° 21-/;. Elles sont donc générales.
25. Relations entre les lignes trigonométriques de deux arcs complémentaires.
(a) Définition. — Deux arcs complémentaires sont deux arcs dont l'arc résultant est égal à -{- -, c'est-à-dire dont la somme algébrique est égale
Les angles qui ont ces arcs pour mesure sont dits angles complémentaires. Deux arcs complémentaires peuvent se présenter dans les trois cas suivants de la fig. 19, pour lesquels Al! est l'arc résultant des arcs AM — x et
(III
1" Cas.
a positif et <
p positif et < —
a positif et ;> —
p négatif et < 1 en valeur absolue
3* Cas .
a négatif et < -
eu valeur absolue
p positif et >
NOTIONS DE TRIGONOMÉTRIE
(b) Théorème. — Le sinus et la tangenle d'un angle sont égaux respectivement au cosinus et a la cotangente de son complément, el réciproquement. Les deux triangles égaux OMm et OBb donnent en valeur absolue
sin a = cos 3
et sin 3 = cos a.
Il est facile de vérifier, dans les trois cas, que ces quantités sont deux a deux de même signe.
De ce que sin x = cos 3 et sin 3 = eos a, il résulte que sin a cos 3 cos x sin 3 ou tg a z= cotg 3.
Cette propriété explique pourquoi on appelle le cosinus, la cotangente et la cosécante les lignes complémentaires du sinus de la tangente et de la sécante.
Puisque pour deux angles complémentaires x et 3 on doit avoir algébriquement a-j- 0 — -)- on en déduit a. =
Dès lors les relalions
précédentes peuvent s'écrire.
sin a = ros -
te ot = colg
cotg a = lg ( - — a
et
et
26. Relations entre les lignes trigonomé trique s de deux arcs supplémentaires.
{a) Définition. — Deux arcs supplémentaires .sont deux arcs dont l'arc résultant est égal à t., c'est-à-dire dont la somme algébrique est égale à
Les angles qui ont ces arcs pour mesure sont dits angles supplémentaires.
Deux aies supplémentaires pourront se présenter dans les deux cas suivants de la fig. 20 pour lesquels AA' étant l'arc résultant égal à -, les arcs supplémentaires sont AM = a, MA' = 3.
1" Cas (fig. I).
a positif <; ^
(3 positif > -
et < t.
2" Cas (fig. II)
a positif > ^ et < ix 3 positif < £
. (6) Théorème. — Deux arcs supplémentaires ont leurs sinus égaux et de même signe, leurs cosinus égaux et de signes contraires, leurs tangentes, ainsi que leurs cotangentes, égales et de signes contraires. En effet : Les deux triangles égaux OMP, OA'Q donnent en valeur absolue sin a = sin 3 cos a = cos 3.
Il est facile de vérifier les signes dans les deux cas et de voir que l'on a sin a = sin 3 cos a = — cos 3 .
sin a sin 3
• On en déduit
— cos 3
cos a
tu j In 3
cos a — cos p
sin a sin (3 cotg ot = — cotg fi. C. Q. F. D.
Puisque pour deux angles supplémentaires x et 3, on doit avoir, algébriquement, x -f- 3 = + ~, on eu déduit x = it — 3. Dès lors les relations précédentes s'écrivent :
sin a = sin (iz — a) et cos a = — cos(- — 1) tg a = — tg (- — a) et cotg x = — cotg (r. — a).
