Résultante de plusieurs droites consécutives
(a) Définition. — Ou nomme résultante de plusieurs droites consécutives dans l'espace, ou dans un même plan, la droite «u le cheminement unique qui, partant du point de départ de la première droite, aboutit au point d'arrivée de !a dernière. Ainsi la droite AD est la résultante des droites consécutives AB, BC, CD.
(b) Théorème. — « La projection orthogonale, ou oblique, sur une droite « ou sur un plan de la résultante de plusieurs cheminements conséculifs est « égale à la résultante des projections de ces cheminements. »
Considérons (fig. 23) un mobile parlant du point A et cheminant le loug de ABCD ; un second mobile parlant du point a parcourt la projection abcd de manière que les positions qu'il occupe successivement soient à chaque instant les projections des positions qu'occupe le premier mobile sur ABCD.
Fig. 23
Ces deux mobiles partant en même temps, l't.n de A, l'autre de a, arriveront ensemble l'un en D, l'autre eu d. La droite ad, résultante des projections, sera donc bien la projection de la résultante AD.
(c) Traduction algébrique du théorème. — Soient (fig. 24) les droites consécutives AB, BC, CD; appelons a, a', a1, leurs longueurs et a, a, a", les angles que font ces droites avec l'axe des x.
La résultante AD sera connue si l'on trouve sa longueur L, et l'angle u qu'elle fait avec l'axe des x. Projetons sur cet axe les droites et leur résultante ; d'après le théorème fondamental (n° 28-c) nous avons :
proj. AD = proj. AB -+- proj. BC + proj. CD. ou
(1) L cos io = a cos a +a' cos a' -f-a" cos a".
Projetons de même sur l'axe des y, en remarquant que chaque droite fait avec cet axe un angle égal au complément de l'angle qu'elle fait avec l'axe des X, nous aurons :
(2) L sin w = a sin a -+- a' sin a' + a" sin a".
Divisons membre à membre la deuxième équation par la première, il vient : a sin a -4- a' sin a' -f- a" sin a"
tff w =
a cos a -+- a' cos a' -+- a" cos a"
Élevons au carré les deux équations (1) et (2) et ajoutons-les membre à membre, nous aurons :
(4) L2 = (a cos a-r-rt' cos z'-ï-a" cos a")2-f-(a sin a-(-a' sin a'+a" sin a")2 .
Les formules seraient analogues si au lieu de trois droites consécutives, nous en avions un nombre quelconque : et on peut les écrire d'une manière générale sous la forme symbolique
Za sin a
tff w =
et
in cos a L2 — [Sa sin a]2 -+- [Sa cos a]2 dans lesquelles 2a sin a représente la somme de toutes les quantités telles que a sin a, a' sin a', etc., et 2 a cos a la somme de toutes les quantités telles que a cos a, a' cos a', etc.
