Projection d'une figure plane sur un plan

(a) Définition. — La projection d'une figure plane F sur uu plan est la portion de ce plan qui est limitée par la projection du contour de la figure F, sur ce plan.

(b) Théorème. — La projection d'une figure plane sur un plan a pour

NOTIONS DE TRIGONOMÉTRIE

surface, la surface de la figure donnée, multipliée par le cosinus de l'angle que fait le plan de la figure avec le plan de projection.

Remarquons qu'une surface ne saurait être négative, et que, par suite, le cosinus devra toujours être pris avec le signe plus.

I. Projection d'un triangle. — 1» La base du triangle est dans le plan de projection (fig. 25-1).

Alors l'angle des deux plans est l'angle que font les hauteurs AH cl att du triangle donné et de sa projection. Dans le plan AaH, on a aH — AH cos a. La surface du triangle projection aBC est

f p„ RC X «H surf. aRC = ^ > ou

surf. «BC

RC X AH X cos a

lie, x AH

et puisque 5 = surf. ABC on peut écrire

surf. aBC = surf. ABC X cos a. C. Q. F. D.

2° La base du triangle n'est pas dans le plan de projection (lig. 25-11). Faisons passer par le sommet 1! du triangle un plan parallèle au plan de projection, et projetons sur ce nouveau plan ; la projection obtenue sera égale à celle qu'où aurait trouvée sur le plan de projection donné.

Le triangle ABC est alors la différence de deux triangles : le premier ABD est obtenu en prolongeant le côté AC jusqu'à sa rencontre avec le plan eu D, et joignant ce point au sommet B ; le deuxième est BCD. La projection aBC du triangle ABC est la différence entre les projections «BD et BcD des triangles ainsi formés.

Or, d'après le cas précédent, on a

aBD = ABD X cos a, BcD = BCD X cos «, d'où en retranchant membre à membre

surf. aBc = surf. ABCX COS x. C. Q. F. 1).

II. Projeetion d'un polygone. — Si ou décompose le polygone douuô en triangles, sa projection sera égale à la somme des projections des triangles

ainsi formés. Ou l'obtiendra donc encore en multipliant la surface du polygone par le cosinus de l'angle que fait son plan avec le plan de projection.

lit. Projection d'une surface plane limitée par une courbe. — Divisons (fig. 25-111) l'aire courbe par des droites parallèles en bandes d'égale largeur ; nous formons ainsi des trapèzes tels que \BCI> ayanl pour bases deux droites parallèles AB et CI), les deux autres côtés étant les arcs de courbes BC et AI).

(III

Fis 25

Nous pourrons remplacer chacun d'eux par un trapèze rectiligne plus petit, tel que ABCD. La somme de tous les trapèzes rectilignes est plus petite que l'aire courbe, mais elle en différera d'autant moins que les bandes seront plus nombreuses et plus étroites : uous pouvons admettre que la limite vers laquelle tend cette somme de trapèzes, lorsque leur nombre augmente indéfiniment, est précisément l'aire courbe considérée.

La projection de l'aire courbe est donc la limite vers laquelle tcud la somme des projections des trapèzes rectilignes tels que ABCD et l'on a : proj. aire-courbe = lim. Htabcd.

Mais pour chacun de ces trapèzes, on a :

abcd = ABCD X cos a ; donc : proj. aire-courbe = lim. i;(ABCDXcos a)

ou proj. aire-courbe = cos aXlim. EABCD

et enfin : proj. aire-courbe = aire-courbe X cos *• C. Q. F. I).