S PI
Fig. 2»
Projetons sur OA les deux cheminements ORN et OSN qui ont mêmes extrémités et dont, par suite, les projections seront égales ; nous aurons : proj. ORN = OR X cos a -f BN X cos CBN.
Or l'angle CRN, qui a ses côtés respectivement perpendiculaires à ceux de l'angle MOB, est le supplément de celui-ci ; ou a donc (v. u° 26)
cos CRN = — cos MOB et rumine MOB est le complément de x.
COS MOB = sin x, d'où cos CRN = — sin x.
On a donc : proj. ORN = cos 3 cos a — sin 3 sin x.
D'autre part, proj. OSN = OS = cos(a-)- S), d'où
(1) cos(a-)- S) — cos a cos 3 — sin a sin 3.
Projetons maintenant sur OB, axe de y, les deux mêmes cheminements OSN et ORN, nous aurons encore :
proj. OSN = proj. ORN, proj. OSN =SM =sin(a-f-3i.
proj. ORN = OR X sin ï + RN'X sin CRN cl d'après ce qu'on a vu plus haut,
sin CRN = sin MOB = cos x.
Donc proj. OBN = cos 3 sin x-t-siu S cos x, d'où
(2) sin (a -f- 3) = sin a cos 3 -f- sin 3 cos x.
sin (a-t-p)
On aura
ou, en remplaçant sin (a +• 3) et (1) trouvées ci-dessus :
sin a cos
tg (a +3)
COS (a -+- •os (a H- 3
par leurs valeurs (2) et sin 3 cos a
cos a cos p — sin a sin
COMPLEMENTS DE MATHEMATIQUES
Divisons le numérateur et le dénominateur de cette expression par le produit eos a cos p, il vient :
sin a cos (3 sin (ï cos a
tg (» + P) =
cos a cos (3 cos a cos
tg (a + P) =
sin a sin [3 cos a cos [3
t£ a -i- tg p
1 — tg a tg p
Ces formules sont générales, et il est facile de les vérifier dans le cas où les angles a el p oui des valeurs quelconques.
(A) Les angles sont et/aux. — En faisant dans les formules précédentes P = a, on trouve :
(1') cos 2a = cos2 a — sin2 a.
(2') sin 2a = 2 sin a cos a.
2 te a
te 2a
I — te2 a
formules qui donnent les lignes trigonométriques de l'arc double d'un arc donné.
32. Connaissant le sinus, le cosinus et la tangente de deux arcs, trouver le sinus, le cosinus et la tangente de leur différence. - - Soient a et p les deux arcs donnés que nous supposerons tous deux plus petits que 1/2- (fig. 27).
Prenons AM = a et en sens inverse MN = p. L'angle AON est égal à (a — p). D'après les formules établies précédemment, on a, puisque * est la somme des arcs p et (a — p) :
sin a = sin(a — p)cos p + sin P cos (a — p)
et cos a = cos (a — p) cos P — sin (a — p) sin P.
Multiplions la première équation par eos p, la deuxième par sin p et retranchons membre à membre, il vient :
sin a cos P — cos a sin p = sin (a — p)[cos2 p -f- sin2 PJ, d'où (1) sin (a — p) = sin a cos p — sin p cos a.
Fig. 27
Multiplions la première équation par sin p, la deuxième par cos p et ajoutons membre à membre, il vient :
cos a cos P -+- sin a sin p = cos(a — P)fsin2 (s -f- cos2 P], d'où (2) cos(a — P) = cos a cos P -+- sin a sin p.
On en déduit :
sin (a— P)
tg(«-p)=.CQS;g^
ou
tg(a-p) =
sin a cos p — sin p cos a
cos a cos p •+■ sin a sin p et en divisant le numérateur et le dénominateur par eos a eos p, il vieut
tg a — tg p
1+tgalgp
S 5. — Formules relatives aux triangles rectangles
