CHAPITRE III
NOTIONS DE GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE
§ 1. — Représentation algébrique des lieux géométriques
34. Lieux quelconques. — a) Principe. — Toute équation f(x.y) = O entre les deux coordonnées variables x et y d'un point peut être représentée par une courbe. Cette équation peut en effet, si elle est seule, être satisfaite par une infinité de valeurs simultanées de x et de y; et à chaque groupe de deux valeurs, l'une de X, l'autre de y, répond un point différent. Cette courbe est le lieu géométrique des points du plan dont les coordonnées X et y satisfont à l'équation.
6) Construction d'un lieu géométrique représenté par une équation f{xy> = 0. — Pour construire la courbe représentative de l'équation f{x.y) = 0, on donne à x, dans l'équation, différentes valeurs successives, et on cherche pour chacune d'elles la valeur correspondante de y.
On construit les points ayant pour coordonnées les valeurs simultanées de x et de y ainsi trouvées, et on joint ces points par un trait continu. îot Exemple. — Construire la courbe que représente l'équation
Formons le tableau des valeurs correspondantes de a: et de y (fig. 28). Pour x = 0 y = — i l'oint M x — 1 y — 1 » N
x = 2 2/ = 3 » P, etc...
Les trois points ainsi trouves sont eu ligne droite ; on reconnaîtrait que tout point dont les coordonnées satisfont à l'équation est sur la même droite MNP ; donc le lieu géométrique défini par cette équation est une droite. 2o Exemple.— Construire la courbe que représente l'équation y = x2 — 2. Formons de même que dans l'exemple précédent le tableau des valeurs correspondantes de x et de y (fig. 29).
Pour x = 0 y = — 2 Point M .r = 1 y — — 1 "N x = 2 y = +2 »P x = 3 y — +7 i Q, etc.. .
Les valeurs de y croissent donc en même temps que x, mais d'une manière bien plus rapide. Donnons maintenant à x des valeurs négatives
Pour x — — 1 a; = - 2 x — — 3
Point N'
etc
là X
Fig. 29
Nous voyons que pour des valeurs de x égales eu valeur absolue, mais de signes contraires, les valeurs de y sont les mêmes ; la courbe est donc symétrique par rapport à l'axe OY. Elle a des branches infinies fournies l'une par les valeurs positives, l'autre par les valeurs négatives de x. Nous verrons plus loin que cette courbe est une parabole.
2. — Etude analytique de la ligne droite (coordonnées rectangulaires)
33. Droite passant par l'origine. — a) La droite est située dans le premier quadrant. — La pente a de la droite est le rapport constant qui existe entre l'ordonnée y d'un point A de celte droite et l'abscisse x de ce point (fig. 30-1).
En réalité a est la tangente trigonométrique de l'angle que la droite donnée fait avec l'axe OX.
Pour le point A (fig. 30-1), on a donc - = «,
d'où y = ax.
Considérons un point 1!, sur le prolongement delà droite OA dans le troisième quadrant. Pour ce point, l'abscisse et l'ordonnée sont négatives; leur
rapport est par suite positif, et on a encore
- — a, d ou
Cette équation représente donc la droite tout entière.
;/ = ax.
Exemple. — Construire la droite y — Sx.
Cette équation peut s'écrire aussi — = 3.
La pente de la droite est donc 3.
Pour .r = 1 . y — 3.
ce qui donne (fig. 30-11) le point A qu'il suffit de joindre au point O.
COMPLEMENTS DE
b) La droite est située dans le deuxième quadrant (fig. .'il-l . - Daus ce cas la pente est négative ; en valeur absolue, elle est toujours
jr
Fig. 30
égale au rapport de l'ordonnée du point a son abscisse; mais ici, l'abscisse est. négative, de sorte que ce rapport est négatif. En appelant a cette pente négative, l'équation de la droite est encore
y = ax.
Cette droite prolongée passe dans le quatrième quadrant. L'abscisse et l'ordonnée d'un point N de ce quadrant sont de signe contraire ; la pente de la droite est encore négative et, si sa valeur est a, l'équation de la droite est encore
y = ax.
Donc, d'une manière générale, une droite passant par l'origine a pour équation y = ax.
a, qui représente la pente de la droite, est positif si la droite est dans le premier et le troisième quadrants; il est négatif si la droite est dans le deuxième el dans le quatrième quadrants.
0 oc X
iç— -i
