II) Y

Fig. 31

Exemple. — Construire la droite y =, — — x. On peut écrire cette équation sous la forme

x ~ ~~ 3* La peule de cette droite est — 2/3.

Pour x = 3, on a y = — 2.

Correspondant au point A dans le quatrième quadrant (fig. 31-11). La droite est OA.

3G. Droite quelconque. — a) Équation d'une droite connaissant sa pente a, positive ou négative, et son ordonnée à l'origine b, positive ou négative- — L'ordonnée à l'origine d'une droite est l'ordonnée du point où la droite rencontre l'axe des y (fig. 32-1).

Je mène par l'origine une droite parallèle a la droite AH ; son équation est y — ax.

Je la relève ensuite, parallèlement à elle-même, de manière qu'elle prenne pour ordonnée à l'origine b ; toutes ses ordonnées sont alors augmentées algébriquement de b.

Pour un point N qui se trouve relevé en M, on a alors :

Mn = Nn -4- MN ou

(1) y = ax + b.

Telle est l'équation de la droite.

MATHEMATIQUES

(b) Exemples :

1° Construire y — ■

3 (lig. 32-11).

Je construis d'abord comme au n» 35, la droite y — - x qui est OM puis je la relève de -f- 3 parallèlement à elle-même en AB.

c (III)

Fiï. 32

2° Construire y = — .r — 2 (fig. 32-111).

Je construis d'abord la droite y — — x. C'est ON, bissectrice du quatrième quadrant ; je l'abaisse ensuite de 2 parallèlement à elle-même en CD.

37. Équation générale de la droite Ax -f By = C. — (a) Pente et ordonnée à l'origine. — L'équation A.r-f-By = C se ramène facilement à la forme

y — ax -+- b.

Pour cela, isolons y, ce qui donne

Posons

B et

l'équation devient

y = ax -+- b.

A C Alors — g est la pente, et g est l'ordonnée à l'origine de la droite

représentée par l'équation Air-)- By = C.

Donc : Toute équation du premier degré entre deux variables représente une droite.

b) Traces d'une droite. — Nous nommerons traces d'une droite les points où elle coupe les axes. La trace M sur l'axe des x s'obtient en faisant y =z 0 dans l'équation de la droite

Ax -f ?>x = C

ce qui donne, en appelant a l'abscisse de cette trace M (fig. 33)

La trace N sur l'axe des y s'obtient en faisant x = 0 dans l'équatiou de la droite ; ce qui donne, en appelant p l'ordonnée de celte trace N

.'/ — fj —

ux valeurs ot = — et P = ]}' on ^re A — 7 et " — p"

Portons ces valeurs dans l'équation de la droite, nous obtenons

Divisons tous les termes par C, il vient

Telle est l'équation de la droite en fonction de ses trares.

NOTIONS DE GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE

d) lre application. — /. Construire la droite 'ix — 2y — 6. l'e Méthode. — Elle consiste a calculer la pente et le relèvement.

D'après ce qu'on a vu plus haut, la penle est 3/2; le relèvement est — 6/2 = —3. Car l'équation peut s'écrire, en isolant y

3 6 îT=5ff — s*

Nous avons vu que le relèvement est la quantité positive ou négative dont il faut déplacer parallèlement à elle-même la droite menée par l'origine et ayant même pente que la droite donnée. Dans le cas actuel, ce relèvement est négatif, ce qui veut dire qu'il faut abaisser la droite y = ^ x de la quantité 3.

Il faut donc :

1° Construire la droite y = - x. Ce qui donne la droite OM (fig. 33). 2° La descendre de 3.

2e Méthode. — Elle consiste à calculer la position des traces. En faisant y = o, on a : y = — 3 ou p — — 3

En faisant y

o, on a

x= -)- 2 ou a=-)~:

23 Application. — Equation d'une droite ayant pour traces a = 2 et p = — 3.

L'équation est