Equation d'une droite passant par deux points donnés
(a) Droite de pente donnée a passant par un point donné
(x'y'). — L'équation de la droite sera
y = ax -h b
à la condition de donner à b la valeur convenable pour que la droite passe au point donné. Les coordonnée de ce point devant satisfaire à l'équation de la droite, on aura ;
y = ax' + b
d'où b = y' — ax' .
L'équation de la droite devient donc
y — ax + y' — ax' d'où
(b) Droite passant par deux points donnés ( ' '..</') et (x'.yi). — La droite devant passer par le premier point aura pour équation d'après ce qui précède
à la condition de donner a a la valeur convenable pour que la droite passe aussi par le deuxième point donné. Ecrivons que les coordonnées x.' et y' de ce point satisfont à l'équation, nous aurons
y' — y' = alx> — x')
.'équation de la droite devient alors
30. Coordonnées d'un point qui partage une droite de longueur limitée dans unrapport donné. — Soil la droite AI» (fig. 34), les coordonnées du point A sont Xi et y, : celles du point 1! sont xt et yt : \
j'appelle X et Y les coordonnées du point C qui partage 4B en deux parties
AC m "!",'S(I",: CB=n' Les triangles semblables ACc' et Al!// donnen
Ac' AC m
TF ~ CÏÏ — Ti '
Fig. 34
et' en remplaçant Ac' par sa valeur (X — Xi) et c'6' par sa valeur
(Xj — X), il vient
ou X (wi + n) — mx-2 -f- nxi ,
d'où
mxi -+- nxt
Les triangles semblables ACc' et CB6" donnent
Ce' AC m
KÛ' ~ CB — n '
et en remplaçant Ce' par sa valeur (Y — j/,) et lift' par sa valeur (y2 — Y), il vient :
ou
Y (m -f- n) = my-2 -+- nyi ,
d'où
my2 + n,yt
Nota. — Les formules sont générales ; ou les vérifierait facilement dans le cas où les deux extrémités de la droite ne sont pas dans le même quadrant.
Cas particulier. — Le point C doit être le milieu de la droite. Alors m — n, et il vient
xt -+- Xi
40. Droites parallèles. — Deux droites parallèles ont leurs pentes égales et de meure signe.
Les équations de ces droites étant :
Ax -f- B.y = C A'x + B'y -I- C
les pentes de ces droites sont pour la première
pour la deuxième On a donc
A B; A/ ~~ B' A A ' B B' A B T=ïï<'
« Deux droites sont donc parallèles si les coefficients des variables dans n leurs équations sont proportionnels ».
