OS

En menant par G' des parallèles aux côtés du rectangle on a partagé, en A et B, les demi-axes dans ce même rapport et on a obtenu, par 6uite, en AA et BB les axes de l'ellipse centrale.

Ayant les deux axes de l'ellipse d'inertie on pourra tracer

cette courbe et en déduire graphiquement le moment d'inertie du rectangle pa'r rapport à un axe quelconque MN passant par le centre de gravité 0.

Il suffira en effet de mener parallèlement à MN une tangente ST à l'ellipse d'inertie et, si l'on désigne par / la distance de cette tangente à la droite MN, le moment d'inertie cherché sera

I = ab X ï2,

car / est le rayon de giration répondant à MN et ab est la surface a du rectangle. (Voir n° 80 bis.)

86. Moment d'inertie et ellipse d'inertie du parallélogramme. — Tout ce que nous avons dit relativement au moment d'inertie du rectangle (y. n° 83 et suivants) s'applique au parallélogramme ayee cette condition que si a désigne le côté parallèlement auquel on prend le moment d'inertie, b sera non pas l'autre côté mais la hauteur du parallélogramme perpendiculaire à a ; on aura donc pour le moment d'inertie par rapport au côté u

aV 3 '

et pour moment d'inertie central parallèlement à a

Enfin le rayon de giration répondant à la direction a sera, comme pour le rectangle,

Mais dans le cas du parallélogramme cette valeur ne sera

KiK. 6S

plus celle du demi-axe de l'ellipse d'inertie, ce sera celle du demi-diamètre conjugué correspondant à la direction du côté a.

Cela résulte de ce théorème que :

Théorème. — Lorsque deux directions sont conjuguées

MOMENTS D'INERTIE DES AIRES PLANES

dans une figure plane, elles le sont aussi dans son ellipse d'inertie (l).

87. Moment d'inertie du triangle par rapport à l'un de ses côtés. — Soit ABC, figuré en perspective sur un plan horizontal, le triangle donné dont nous voulons trouver le moment d'inertie par rapport au côté BC.

Imaginons un plan SABG passant par le côté donné BC et incliné à 45° ; il rencontre la verticale du sommet en S.

Dans le prisme qui aurait ABC pour base ce plan à 45° détache une pyramide SABC et d'après ce que nous avons dit (v. n° 82) le moment statique de cette pyramide, par rapport au plan ABC, sera égal à la moitié du moment d'iner7 tie cherché.

Désignons par h la hauteur AP du triangle correspondant au côté BC et par a ce côté. Le volume de la pyramide sera

* Pour démontrer ce théorème rappelons d'abord (v. Ct, 5e p., ch. V) que dans une ellipse (fig. 68 bis), si a ct a' sont les angles que deux diamètres conjugués OA' et OB' fout avec l'axe des x, on a :

fi) tg a Ig 2' = , ou eueore

(!') ft2 | ai tg a tg «/ = 0.

Cela posé, démontrons d'abord le lemnie suivaut :

Lemme. — OA' et OB' étant deux directions conjuguées de l'ellipse d'inertie, si l'on prend ces droites pour axes de coordonnées obliques 0X' et OY', on aura : 'Ziùx'y' = 0.

Eu effet : 0 étant l'angle que l'ont entre elles les directions OX ' et OY', on a pour un point M, en abaissant les perpendiculaires Mm et Mn sur OX' et OY',

Mm Mra

sin 0

et pour un élément o) entourant le point M

mx' y'

sin2 8

Mm X Mn .

Il suffit donc de prouver que

2a>(Mm X M") •- <>• Or, d'après le théorème des projections, en écrivant que Mm est la projection du contour OI'M, on a :

(2) Ml» = y cos a — a; sin a et de même

(I!) Mu = x sin a' — y cos a'.

Faisons le produit tù(Mm X M») et étendons-le à toute la surface, il viendra, eu remarquant que Hwxy — 0, puisque OX et OY sont les axes principaux d'inertie,

(4) -w(Mm X Mw) = — cos a cos x'lx — - sin a sin %'ly.

Or, si a et b sont les demi-axes de l'ellipse d'inertie et si <> est l'aire de la surface totale, on a :

h = £>b2 et i,, = <a2,

eu remplaçant dans le second membre de (4) il vient

£oj(Mm X M») = — H{b- cos a cos a' -f- «2 sin a sin Je dis que la pareuthèse du second membre est nulle. En effet : elle peut s'écrire, eu mettant cos a cos a' en facteur, (îi) cos a cos a'(62 -+- a2 tg a Ig *'),

et la nouvelle pareuthèse est nulle d'après l'équation (1').

h h h2 " 2X3 = fl 6' et comme son centre de gravité G (non figuré sur le cro-

Fifç. 6»

quis) se trouve au 1/4 de la hauteur à partir de la base le mo-

Donc le lemme est démontré.

Lemme réciproque. — Si deux axes de coordonnées obliques, OX', OY', sont tels que l'on ait ^.u>x'y'— 0, ces axes sont deux diamèlres conjugué? de l'ellipse d'inertie.

En effet, en évaluant comme ci-dessus le produit iox'y' et ensuite Swr'i/',

Fig . 68 bis ■ ■

mais saus faire tout d'abord aucune hypothèse sur les valeurs relatives des angles a et a', on retombera sur l'expression 5 égalée à zéro, ce qui conduira k l'équation

-f- a2 tg a tg a' = 0 ou 6a .

ce qui implique que les directions OX' et OY' sont conjuguées.

Cela posé, le théorème est mainteuant facile a démontrer.

Soient OX' et OY' deux directions conjuguées" dans la surface, je dis qu'elles sont aussi conjuguées dans l'ellipse d'inertie.

En effet, dire que OY' est conjugué de OX', c'est dire qu'à tout point tel que M ayant pour abscisse x', répoudra, de l'autre côté de l'axe 0Y',un autre point M, ayant même ordonnée y' mais uue abscisse — x' égale et de signe contraire à x'. Par conséquent pour les deux points M et M| les expressions MX' y' auront des valeurs égales et de signe contraire qui se détruiront.

Comme cela se répétera pour tous les points, on voit que l'ou aura

StiKE'!/' = 0,

et que, d'après le lemme réciproque, les axes OX' et OY' seront deux diamètres conjugués de l'ellipse d'inertie. C. Q. F. D.

RECHERCHE ALGÉBRIQUE DES MOMENTS D'INERTIE ÉoUATORIAUX

ment statique de la pyramide par rapport au plan ABC sera h h2 h ah3,

le moment d'inertie cherché, qui en est le double, sera donc

„ ah" ah'

88. Moment d'inertie central du triangle. — D'après le théorème du centre de gravité (v. n° 76), ce moment d'inertie se déduit du précédent en en retranchant le produit de la surface du triangle par le carré de la distance du centre de gravité au côté BC. Nous aurons donc

ah3 ah (h 12 ~TX V3

ah"

ah" l8~

ah3

*89. Ellipse centrale d'inertie du triangle. — Le rayon de giration, p, répondant au côté BG est donné par la formule générale

u?> = i, doù ? = \/k

dans le cas actuel on a donc :

lit1 h \ ÏS ~~ 3 \/2

Cette valeur va nous permettre de tracer l'ellipse d'inertie.

{a) Triangle équilatéral. — Considérons d'abord le cas d'un triangle équilatéral (flg. 70).

En raison de l'égalité que présentent toutes les parties de cette tigure, son ellipse d'inertie sera un cercle dont le centre sera au centre de gravité du triangle et dont le rayon sera

Partageons la portion UC de la médiane issue du point C

Fis. 70

dans le rapport de — - (tracé connu) et menons par le

point c, ainsi obtenu, des parallèles aux côtés AC et CB ;

on aura en ca et cb deux tangentes au cercle d'inertie

dernier est donc déterminé.

Remarquons enfin que la médiane répondant au côté AC est perpendiculaire au diamètre du cercle d'inertie parallèle à ce côté.

(b) Triangle quelconque. — Si maintenant nous considérons le cas d'un triangle quelconque, nous pourrons toujours, au point de vue des moments d'inertie, envisager ce triangle comme étant la projection d'un triangle équilatéral. (Le théorème précédent sur les directions conjuguées nous y autorise.) Dans cette projection le point c partagera

toujours la portion OC de la médiane dans le rapport

et les projections des droites ab, bc, ca seront les tangentes à l'ellipse d'inertie. Dans celle-ci le diamètre dirigé suivant une médiane du triangle sera le conjugué du diamètre parallèle au côté répondant à la médiane considérée, puisque dans un triangle une médiane BD est conjuguée du côté correspondant AC.

Fig. 71

A l'aide de ces remarques on tracera facilement l'ellipse d'inertie, comme suit :

1° Après avoir partagé la droite OC dans le rapport de

— on mènera du point c, ainsi obtenu, des parallèles aux

côtés du triangle ; ces parallèles ab, bc, ca seront des tangentes à l'ellipse d'inertie et leur rencontre avec la médiane issue du sommet qui leur est opposé sera le point de tangence. Tel est par exemple le point d.

2° Le diamètre conjugué de Od seraparallèie à AC. Pour en avoir la longueur nous allons déterminer le rayon de giration répondant à la direction BD. Appelons / la longueur de la médiane, et o la distance de cette droite au point C ; S est aussi la distance de A à la médiane BD.

Le moment d'inertie du triangle par rapport à la médiane BD sera (v. n° 87)

MOMENTS D'INERTIE DES AIRES PLANES

et le rayon de giration correspondant sera

p ~~ V JT^iz = 5¥*

Un voit donc qu'en prenant sur la base un point M qui

divise DC dans le rapport et en menant par ce point

une parallèle M/* à la médiane BD l'intersection f de cette parallèle avec le diamètre conjugué de Od sera le point de tangence cherché. Connaissant dans l'ellipse d'inertie les deux demi-diamètres conjugués Od et 0/, on tracera facilement la courbe et même ses axes, d'après le tracé connu (v. Ct, 2° p., ch. Vj.

*90. Moment d'inertie du trapèze parrapportà sa grande base. — En considérant le trapèze comme la réunion d'un

Fi«. 72

parallélogramme et d'un triangle on trouve facilement son moment d'inertie par rapport à l'une de ses bases parallèles.

Soit ACDE (fig. 72) le trapèze donné dont h est la hauteur, B, la grande base, b la petite. En menant BF parallèle à DE on le décompose en deux surfaces dont nous savons trouver le moment d'inertie : on aura donc

*9i. Moment d'inertie central du trapèze parallèlement aux bases. — En retranchant de la valeur I„ que nous venons de trouver le produit de l'aire du trapèze par le carré de la distance x de son centre de gravité à la grande base on obtiendra le moment d'inertie central cherché. La distance x, d'après ce que nous avons vu (v. n° 66), est égale à

on aura donc

ou en réduisant

2V 9 {b + xiy

hSm,ohs h* „ (B + 2ft)*

En divisant cette quantité par la surface et en simpliliant on obtiendrait pour valeur du carré du rayon de giration

(B + bf

§4. — Recherche algébrique des moments d'inertie polaire

92. La recherche d'un moment d'inertie polaire ramenée à celle d'un moment statique — Soit ABC (fig. 73) l'aire donnée, G son centre de gravité.

Imaginons comme nous l'avons fait plus haut (v. n° 82) un cylindre qui aurait cette aire pour base et concevons un cône de révolution à axe vertical dont le sommet serait le centre polaire G et dont les génératrices seraient inclinées à 45" sur le plan de la figure ABC.

Le moment d'inertie polaire d'un petit élément w situé au point E, et à la distance ?% a pour expression

Si l'on considère un petit cylindre ayant pour base w et pour limite, en hauteur, la surface du cône, sa hauteur sera EE' égale à r puisque le cône est à 45° et son volume v sera

Son centre de gravité étant en ^ au milieu de la hauteur,

son moment statique par rapport au plan de base sera

m = - wr ;

d'où l'on tire pour le moment polaire élémentaire j de la surface w

En faisant la somme de toutes les quantités semblables relatives aux éléments delà surface ABC on voit que le moment d'inertie polaire de la surface proposée est égale au double du momentstatique, par rapport au plan de la ligure, de la portion de cylindre comprise entre ce plan et le cône.

Pour l'obtenir on prendra, en général, le moment statique du cylindre total ABCA'B'C et on en retranchera le moment du cône creux GA'B'C

Nous avons figuré, en dessous, en l'ombrant (fig. II) ce solide tronconique, dont le moment statique serait égal à la moitié du moment d'inertie polaire cherché.

RECHERCHE GRAPHIQUE

93. Moment d'inertie (polaire et équatorial) du cercle. — Remarquons d'abord que le moment d'inertie équatorial du cercle est le même quel que soit le diamètre par rapport

Fig. 73

auquel on le prend, et cela 4 cause de la symétrie absolue de la figure. On aura donc

et comme I.,. -f-L, = J.

(J étant le moment d'inertie polaire), on aura

Cberchons donc le moment d'inertie polaire du cercle.

Considérons comme nous venons de l'indiquer ^v. n" 92) la couronne cylindro-conique ABCA'B'C En supposant que ABC soit un cercle (une nouvelle figure est inutile) le moment statique de cette couronne par rapport au plan de base est la différence des moments statiques du cylindre et du

cône, tous deux de révolution, dans le cas du cercle. Or le moment statique du cylindre est

M, = «R'XRX - = ^f-'

celui du cône est