Tangente à la parabole

(a) Définition de la tangente à une courbe.

La tangente en un point A d'une courbe est la position limite AT d'une sécante Ail passant par le point A, position limite obtenue en faisant tourner la sécante autour du point A de manière que le point B se rapproche indéfiniment de A et vienne se confondre avec lui.

(b) Tangente en un point d'une parabole .

Théorème. « La tangente eu un point de la parabole est la bissectrice de

« l'angle formé par le rayon vecteur et par la parallèle à l'axe qui passent par « ce point. »

Eu effet : Soit le point M de la courbe (fig. 44) ; menons le rayon vecteur MF, la parallèle MK à l'axe, et la bissectrice MN de l'angle FMK. Si nous démontrons que tout point le! que N de cette bissectrice, autre que le poinl M, est plus prés de la directrice que du foyer, cela prouvera que ce point N est extérieur à la courbe et que, par suite, la droite MX est une tangente.

Or, les triangles MNF et MNK sont égaux comme ayant nu angle égal FMN = NMK, compris entre côtés égaux (NM commun, et MF = MK).

Il en résulte que NF = NK.

La distance NI du point N à la directrice est plus petite que NK, qui est une oblique, et par suite que son égale NF. C. Q. F. D.

Fig. 44 Fig. 45

I. Définition. — On appelle sous-tangenle la projection sur l'axe île la parabole de lu portion de la langente comprise entre son point de contact et sou point d'intersection avec l'axe de la parabole. La tangente étant MT, la sonstangente est mT (fig. 43).

II. Théorème. •< La sous-tangente est double de l'ordonnée du poinl de ti contact, la parabole étanl rapportée à sa tangente au sommet connue axe « des X et à son axe comme axe des Y. ».

Pour le démontrer joignons le poinl K (li«. 45) au foyer ; les deux triangles FMI, M1K sont égaux comme ayant un angle égal FMI = IMK compris entre côtés égaux (Ml commun, et FM = MK).

On voit donc que FI =: IK et. que MI est perpendiculaire sur FK.

La figure MFTK est donc un losange et le point l est aussi le milieu de MT. Il résulte île ce qui précède que le point I est sur la tangente au somme! et que le point 0 est le milieu de mT. Ou a donc mT =2mO. C. Q. F. I).

III. Corollaires. — 1° Le lieu géométrique de la projection I du foyer sur une tangente est la tangente au sommet delà parabole.

2° La longueur 01, abscisse à l'origine de la tangente, est la moitié de l'abscisse wiM du point de contact.

3° La direelriee esl le lieu géométrique du point K symétrique du foyer par rapport à la tangente.

(d) Normale et sous-normale.

I. Définitions. — La normale à la parabole au point M est la perpendiculaire menée en ce point à la tangente.

La sous-normale esl la projection sur l'axe de la parabole de la portion de la normale comprise entre le point où elle coupe la courbe et le poinl où elle rencontre l'axe de la parabole.

La normale étant MN, la sous-normaïe est Nm.

II. Théorème. — « La sous-normale d'une parabole esl constante et .'«aie au « double de la distance focale. »

Les triangles rectangles MroN et KBF sont égaux comme ayant l'hypoténuse égale ;MN = KF comme parallèles comprises entre parallèles) et un côté de l'angle droit égal (Mm = BK).

Les troisièmes côtés sont égaux ; donc mN — BF = 20F = 2p". C. Q. F. 1).

(e) Mener à une parabole une tangente parallèle à une direction donnée. — Abaissons du lover une perpendiculaire sur la droite donnée; elle coupe en B la tangente au sommet; la tangente est la parallèle

Wll

COMPLÉMENTS DE MATHÉMATIQUES

à la droite donnée, meuée par le point lî ; l'abscisse Ou du point de contact est double de Oli, (fig. 46), ce qui détermine le point de contact G.

50. Equation de la parabole rapportée à son axe et à la tangente au sommet (fig. 47).

(a) Parabole positive. — Nous dirons que la parabole est positive si son foyer est situé au-dessus de l'axe des j1, sa directrice étant au-dessous. L'ordonnée du foyer est alors positive et égale à p'.

D'après ta définition de la courbe nous avons

MF = MK, d'où