MF2 = MÎT

Dans te triangle rectangle Mm'F nous avons :

MF-' — MÎ>T'2 -t- mT2 011 MF2 = x*-\-{y— p')\ MK=?n'0 + 0R ou MK

MK2 = (!/+p'T-,

kp'y = xt 0

(1) V — ; — ,x • (Equation de la parabole)

Application. — Que représente la courbe y = ax2 ?

C'est une parabole ayant pour axe l'axe îles y, pour tangente au sommet l'axe des % et une distance focale p' donnée par la relation

d'autre part y -\-p', d'où nous avons donc :

d'où et

d'où

(b) Parabole négative. — Le foyer est alors situé au-dessous de l'axe des x, la directrice étant au-dessus (fig. -18).

Par un calcul analogue au précédent on trouvera pour équation de la parabole

L'ord ée du loyer est négative et égale h p' eu valeur absolue. Donc :

D'une manière générale, si on admet que p' représente en grandeur et en signe l'ordonnée du foyer, l'équation de la parabole rapportée il son axe et à la tangente au sommet sera toujours de la forme

J kp'

1° Construire la courbe y = — x2.

C'est une parabole positive ayant pour asft l'axe des y, tangente à l'axe des ./■ a l'origine, et ayant pour paramètre, c'est-à-dire pour distance focale

2o Construire la parabole y —

C'est une parabole négative rapportée aux mêmes axes que la précédente ; mais sa distance focale est

kp'

51. Intersection d'une droite et d'une parabole. — Diamètre [a) Intersection d'une droite et d'une parabole. — Soit à trou

ver les points d'intersection de la parabole

(1) 2/= ^ et de la droite

(2) y — ax -\-b.

Nous trouverons les coordonnées des points d'intersection en résolvant le système des équations (1) et (2).

Tirons la valeur de y de la première équation et portons-la dans la seconde, il vient, eu appelant xt et xt les abscisses des points d'intersection,

- — - x1 — ax-\- b, kp

kap'x — kbp = 0,

Xi = 2{ap'

d'où, en résolvant

ftp')»

x-2 = 2{ap' — \Jalp''1 -+- bp).

Il y aura donc, en général, deux points d'intersection.

(b) Diamètres dans la parabole. — I. Définition. — On appelle diamètre d'une courbe le lieu géométrique des milieux des cordes menées dans cette courbe parallèlement à une direction donnée.