XXIIJ

Donc, la droite qui joint le point de concours de deux langeâtes au milieu de la corde des contacts est le diamètre correspondant à cette corde.

3° Si la sécante MN se déplace parallèlement à elle-même, les deux points M et N se rapprochant indéfiniment l'un de l'autre, à la limite, cette sécante devient une tangente à la parabole et son point de contact J est sur le diamètre II' correspondant à celte direction MN.

52. Problème n» 1. — « C laissant deux points d'une parabole et

u les tangentes en ces deux points, trouver I" la direction de l'axe ; 2" sa « position ; 3° le paramètre et le sommet de la parabole. »

Soient MT cl NT (tig. 50) les deux tangentes, M et N les points de nmtact.

1° On joint le point de rencontre T des tangentes au milieu I de MN ; la droite TI est parallèle à l'axe.

20 Comme la sous-normale est constante et égale à 2p', ou mène les deux normales MV et NW, et on doit les couper par une droite parallèle à TI et telle que les deux sous-normales obtenues sur celte droite soient égales. Pour cela, on mène NN' parallèle à TI, jusqu'à sa rencontre avec la perpendiculaire Mm menée à la direction de l'axe par le point M. Par le point de rencontre N' de ces deux droites, on trace une parallèle N'Y à NW : elle coupe au point V la normale au point M ; l'axe passe en ce point V : en effet, les triangles rectangles égaux NnW et N'mV donnent m\ =n\\.

On Irace l'axe parallèle à la droite TI.

3» Comme la sous-tangeute est double de l'ordonnée du poiut de contact, le milieu A de la sous-tangeute mt est le sommet de la parabole. Le paramètre p' est la moitié de la sous-normale ?/tV.

On pourrait obtenir le foyer F, et par suite vérifier la construction précédente, en prenant le poiul K où la tangente NT rencontre la tangente au sommet et menant par ce point une perpendiculaire à la langente NT; cette perpendiculaire coupe l'axe au foyer F.

53 Problème no 2. — » Connaissant le paramètre p' d'une parabole « (ce qui définit complètement sa forme), la direction de Vaxe et deux « points M et N de la courbe, déterminer : 1° son axe en position ; « 2° son sommet » (fig. 51).

Supposons le problème résolu ; soit la parabole passant par les deux points donnés M et N. Joignons ces deux points, menons le diamètre 1K passant par le milieu I de MN ; la tangente à l'extrémité K de ce diamètre est parallèle à MN : menons la normale KL au point K, puis la droite LH perpendiculaire à l'axe. Dans le triangle KLH, le côté HK est égal à la sous-norinale, et par suite à 2p".

Menons la perpendiculaire IL' au milieu I de MN, puis L'H' perpendiculaire à l'axe de la parabole ; le triangle IL H' est égal au triangle KLH, et par suite IH' = 2p'.

La construction sera donc la suivante (fig. 51, à droite) :

M<La

1» Menons la droite MN, puis par sou milieu I une parallèle à l'axe dont la direction est donnée. Menons au point 1 une parallèle a l'axe, sur laquelle nous prendrons une longueur IH' — 2p'. Menons la perpendiculaire ll'L' à l'axe jusqu'à sa rencontre en L' avec la perpendiculaire menée en I à MN.

Le point L' esl un point de l'axe de la parabole ; menons cel axe.

2° Du poiut M abaissons une perpendiculaire Mm sur l'axe ; portons sur l'axe mV 1 2p' ; la droite MV esl la normale au point M : la tangente est MT perpendiculaire à MV ; le milieu A de la sous-tangente m'f est le sommet de la parabole. Le problème est dune résidu.

Remarque. — Lorsque l'axe de la parabole sera vertical, ce qui sera le cas le plus ordinaire dans les applications, on pourra opérer graphiquement par le procédé suivant :

On découpera dans une feuille de bristol ou de bois de placage un patron de la parabole de paramètre p'. en ayant soin de le limiter à une corde perpendiculaire à l'axe ; cette corde sera appliquée contre la règle d'un Té ; par des déplacements combinés du Té et du patron, on arrivera à faire passer celui-ci par les deux points donnés (v. Stab. n» 270).