Equation générale d'une parabole à axe vertical

(a) Son sommet est sur l'axe des ?/. — La parabole rapportée h son axe et à la tangente au sommet a pour équation (v. n° 50)

J kp'

Soit d, l'ordonnée du sommet; si nous transportons l'origine au poiut d'ordonnée ( — d), nous aurons ,

L'équation de la courbe prend alors la forme

qui, développée, devient

d — — -xl ip

J ip'

Cette équatiou est de la forme générale

y — ax2-\- c.

(b) Son sommet est sur l'axe des x. — Soil l l'abscisse du sommet : la parabole rapportée à son axe et à la tangente du sommet a pour équation

Si on transporte l'origine au point d'abscisse ( — /), on aura (v. u° 16).

ît l'équation de la courbe prendra la forme

qui, développée, devient

équation de la forme dans laquelle

ip 2p ip

y = ax2 -f- bx -f- c, b2 — kac = 0.

coordonnées du sommet. L'équation de la courbe rapportée à son axe cl à la tangente au sommet est

transportons l'origine au point dont les coordonnées sont x = — / et y — — d : les formules de transformation sont (v. n° l(i)

x ■=. x — i et y — y' — d,

et l'équation prend la forme

x2 — — , xl + — l 2 -H d, '2p

qui, développée, devient

4p' " 2p' ' ip'

équation de la forme générale .

y = «x2 -+- bx -t- c.

Remarque. — Dans les trois cas, le coefficient a de x1 est égal à C'est donc lui qui indique la forme de la parabole.

(d) Construire la parabole donnée par son équation

y = ax! + bx -\- c. — Cette parabole a son axe veitical; son paramètre est donné par la relation

d'où p

ip'

4rt

('.< IMPLÉMENTS DE MATHÉMATIQUES

II faul trouver son somnict.

L'équation de la courbe peut s'écrire

u — a ( x1 -f- - x -+- - V complétant le carré (v. n« 8-c) : \ a al

1/ b \ a fr2 — 4ac~l

y = aH* + Stej

Identifions cette équation avec l'équation du § d

nous voyons que les coordonnées du sommet sont :

2a' fr2 — bac

(a bscissci {ordonnée.)

Exemple. — Construire la parabole y : 3x2 — bx + 5.

Le paramètre l'aliscisse du sommet l =■

l'ordonnée du somme! et — —