Addition des courbes

(«) Définition. — L'additi lé plusieurs courbes rapportées aux

mêmes axes a pour bul de construire une nouvelle courbe dont l'ordonnée correspondant à une abscisse quelconque soit la somme algébrique des ordonnées des différentes courbes données, correspondant à la même abscisse.

La courbe ainsi obtenue s'appelle la courbe-somme des courbes données.

(b) Addition de droites. — L Théorème. — Lasomme de plusieurs limites est une autre droite dont la pente est la somme algébrique des pentes des droites données.

Soit à additionner les droites

y — ax -+- b, y — a'x -+■ b', y = d'x -|- b" .

La somme sera Y = (n + a' -+- a")x -+- (b -+- b' ■+■ b"),

équation qui représente une droite ayant pour pente A = (a a' -f- a"). c'est-à-dire la somme algébrique des pentes des droites données.

II. Tracé graphique de la somme de deux droites. — Prenons les points m et n où les deux droites données rencontrent l'axe des x. relevons chacun de ces points respectivement sur l'autre droite eu M et N : la droite MN est la droite cherchée.

nJL-

Théorème. — « La pente de la langenlo en un poinl île la courbe-soi

» de plusieurs courbes données, est égale à la somme algébrique des pentes « des tangentes aux points correspondants des courbes données. » (fig. 53).

Considérons deux ordonnées voisines ; prenons sur chaque courbe les points situés sur ces ordonnées et joignons-les par une ligne droite ; nous obtenons

ainsi une série de sécantes ww, mini, ffijfig, dont la somme est la sécante MN de la courbe-somme. Si l'ordonnée N>" se rapproche indéfiniment de l'ordonnée MM', à la limite, les sécantes deviennent les tangentes aux points m, Wj et M aux courbes considérées ; et la tangente en M à la courbesomme est la somme des tangentes en m, mt et m± aux courbes données. Donc la pente de la tangente à la courbe-somme est bien la somme des pentes des tangentes aux courbes données.

(d) Addition d'une droite et d'une parabole .

bx -\- c,

y = —, x* + bx + c.

Soit la parabole et la droite leur somme est

C'est une parabole à axe vertical dont le paramétre est le même que celui de la première. C'est donc une courbe de même forme, mais dans une position différente (fig. 54).

Au sommet A de ta parabole (1) correspond le point A' situé sur la droite, à laquelle la parabole-somme est tangente en ce point.

Au point m Où la droite coupe l'axe des x correspond le point M commun aux deux paraboles.

Au point n d'intersection de la droite et de la parabole données correspond le point N d'ordonnée double. On a nn' = »N.

Ces données sont plus que suffisantes pour tracer la courbe-somme.

On peut trouver directement son sommet. Pour cela, menons la normale A'V au point A' à la parabole (i) : la sous-normale est constante et égale à 2p'. Prenons sur A A' la longueur A'U = 2p'; menons par U la parallèle UV à l'axe des x, le point V est sur l'axe de la parabole et cet axe est parallèle à oy.

La droite mn coupe l'axe en t, et le milieu de la sous-tangente a't est le sommet de la parabole cherchée.