Définition et construction de la courbe (fig

(a) Définition. — L'ellipse est une courbe telle que la somme des distances de chacun de ses points à deux points fixes appelés foyers est constante.

(b) Construction de la courbe par points. — Nous appelons la la longueur de cette somme constante. Soient F et F' les foyers. Menons la droite FF', prenons son milieu 0, et à partir de ce point, portons à droite et à gauche

OA = OA' - a ; les points A et A' appartiennent' à la courbe, car on a

AF = A'F' et AF -)- AF' = 2« ; de même

A'F' 4- AF' = 2a.

Prenons un point P sur AA' ; du point F' comme centre, avec A'P comme rayon, décrivons un arc de cercle ; du point F avec AP comme rayon, décrivons uu second are de cercle qui coupe le premier en deux points

N el N' symétriques par rapporta AA' ; ces deux points appartiennent à la courbe. Donc la droite AA' est un axe de celte courbe ; on l'appelle grand axe. Nous pourrons faire la môme construction en prenant F comme centre d'un cercle de rayon A'P, et F' comme centre d'un cercle de rayon AP ; les deux points ainsi obtenus seront symétriques des points N el N' obtenus précédemment, par rapport à la droite RR' perpendiculaire au point 0 à AA'. Cette droite RR' est aussi un axe de la courbe. Prenons sur cette droite les points R et R' tels que FR = F'R = l'R' = F'B' = a :

les points R et R' appartiennent à la courbe. RR' est le petit axe de l'ellipse et on le désigne par 26. La construction indiquée n'est possible que si le point 1' est choisi entre les deux foyers.

tracé des jardiniers. — On fixe en F et F' les extrémités d'un fil ayant pour longueur 2a ; ou tend ce fil avec la pointe du crayon, que l'on déplace de A en A' d'abord au-dessus de l'axe, puis au-dessous, en tenant toujours le fil bien tendu.

(d) Propriétés immédiates de l'ellipse. — 1° L'ellipse a deux axes perpendiculaires entre eux ; l'un, le grand axe, est la droite AA' qui joint les deux foyers ; l'autre, le petit axe, est la droite RR' perpendiculaire au milieu de FF'. Les points A et A', R et R' sont les sommets de l'ellipse.

2° Si on appelle 2c la dislance focale FF' on voit que, parla manière même dont on a construit les points R et B', ou a la relation a* = bi + ci.

60. Equation de l'ellipse rapportée à ses axes. — Soient x et y les coordonnées d'un point M de la courbe. Par définition, on a (fig. 60)

MF -4- MF' = 2a.

Dans le triangle rectangle MmF', on a

MF72 = Wh7i2-+-^7F'2,

ou MF' = y2 -\-(x-\-c)2, d'où MF'= Jy* + (x -+- c)-. Dans le triangle rectangle M?hF, on a

ou MF2 = y2 -\-[x — c)3, d'où MF = vV2 -r-{x — c)2- On aura doue

s/y2 + (x — c)2 + sjxj- -+- (x + c)2 = 2«.

Faisons passer l'un des radicaux dans le second membre de l'équation et élevons les deux membres au carré, il vient :

y2 -+- (x -f- c)2 =: y2 --(- {x — c)2 + 4a2 — 4a \jyl + [x — c)2, que nous pourrons écrire après simplification

a2 — ex — a\jy£ -+- (x — c,2.

Elevons les deux membres au carré, il vient :

a<> c2x2 — 2a2cx = a2y2 a2x2 -f- a2c2 — 2à2cx, ou a2 (a2 — c2) =z a2y2 -f- x2 (a2 — c2)

et comme a2 — r2 — b2, cette équalion devient

a2b2 = a2))2 -f- b2x2, ou eu divisant les deux membres par a2b2,

Telle est l'équation de l'ellipse rapportée à ses axes.

61. L'ellipse définie comme projection d'un cercle. — Soii un cercle dont le plan fait un angle a avec uu plau de projection que nous ferons passer par l'un de ses diamètres AA'. Prenons pour axe des x ce diamètre, et pour axe des y, sur le plan de projection, une perpendiculaire menée à l'axe des x par le centre du cercle (fig. 61).

Un point M du cercle étant projeté en m sur l'ellipse, ce point m aura pour coordonnées mm' = y et Om' — x: on a

mm' — M»»' cos a,

d'où

nm'2 — Mm" cos2 a.

NOTIONS DE GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE

Mais, si a est le rayon du cercle donné,

qu'on peut écrire

M>n'2 = OM2 — 0»i'2 = a2 — x2, mm'2 = y3 = (a2 — x2) cos2 a,

2 fi

ou a dollC

a2 cos2 a

équation d'une ellipse dans laquelle a étant le demi-grand axe, le demi-petit axe sera a cos a.

Menons le diamètre du cercle OB, perpendiculaire à AA' ; la projection du point B est B', et l'on a

OB' = OB cos a = a cos a ; c'est le demi-petit axe de l'ellipse et si nous l'appelons b, l'équation prendra la forme

identique à l'équation (A) trouvée au no 60.

62. L'ellipse définie par le mouvement d'une droite. Tracés par la bande de papier.

(a) Tracé par la somme des axes. — Les extrémités d'une droite CD, de longueur constante et égale à la somme (a -f- b) des deux demi-axes, glissent sur deux axes rectangulaires OX et OY ; le point M de cette droite, tel que MC — a et MD = b, engendre l'ellipse ayant pour demi-axes a et b. Eu effet :

Appelons x et y les coordonnées du point M, a étant l'angle que fait la droite CD dans cette position avec l'axe des x, nous avons :

d'où et

y = b sin

'C — sin2 a

et et

x — a cos a,

— = cos' a,

Equation d'une ellipse.

(6) Tracé par la différence des axes. — Les extrémités d'une droite CD, de longueur constante égale à la différence (a — b) des demi-axes, glissent sur deux axes rectangulaires 0\ et OY ; le point M de cette droite tel que MC=a et MD = b engendre l'ellipse ayant pour demi-axe a et 6.

En appelant x et y les coordonnées du point M, ot étant l'angle que fait la droite CD dans l'une de ses positions avec l'axe des x, nous avons :

(6) Diamètres conjugués dans l'ellipse (fig. 62). — L'ellipse est la projection d'un cercle ; c'est sur cette propriété que nous allons nous baser.

Dans un cercle deux diamètres perpendiculaires sont conjugués. Soit un cercle 0; sa projection sur un plan est une ellipse ; deux diamètres perpendiculaires AB et CD du cercle ont pour projections deux diamètres conjugués ab et cd de l'ellipse ; en effet la corde EF parallèle à AB a pour projection ef parallèle à ab, et le milieu I de EF, qui est sur CD, a pour projection le milieu i de ef, et ce point i est sur cd.

Le carré MNPQ circonscrit au cercle, et ayant ses côtés parallèles aux diamètres AB et CD, a pour projection le parallélogramme 7tinpq circonscrit à l'ellipse et ayant ses côtés parallèles à ab et cd ; les points a, b, c, d, sont respectivement les milieux de ces côtés : l'ellipse est tangente en ces points aux quatre côtés du parallélogramme.

(c) Centre de l'ellipse. — Tous les diamètres passent au point 0 qui est leur milieu ; ce point est le centre de l'ellipse.

If 1 / 1

Fig. 62