Théorèmes d'Apollonius

(a) 1er Théorème. — « La somme des carrés de deux diamètres eon- « jugués d'une ellipse est égale à la somme des carrés des axes. »

L'ellipse peut être considérée comme la projection d'un cercle décrite sur son grand axe AA' comme diamètre ; deux diamètres perpendiculaires OC et OD de ce cercle donnent les diamètres conjugués Oc et Od de l'ellipse.

Soit Oc=a' et Od—b\

0£ b OB ~ a'

cH b CU~ a' dG b DG — a'

Dans le triangle OcH, on a, puisque Oc — a' ;

Comme on a

on aura aussi

et

d'où d'où

cH = CH X

(1G = UGX-

cH2 + OH2,

d'où et

y — b sin a

y2 ■ n — sin- a

et

et

; = a cos a,

x2 „ — = COS2 a,

Equation d'une ellipse.

De là résultent pour tracer l'ellipse deux procédés connus sous le nom de tracés par la bande de papier.