XXVI
COMPLÉMENTS DE MATHÉMATIQUES
il vient
a'2 + V* = a2-hb2. C. Q. F. D.
(b) 2' Théorème. — « Le parallélogramme construit sur deux diamètres •• conjugués à une surface égale à celle du rectangle construit sur les axes. »
Considérons un cercle el le carré circonscrit; si nous projetons sur un plan, le cercle se projette suivant une ellipse, et le carré suivant uu parallélogramme circonscrit à cette ellipse.
La surface de ce parallélogramme est égale au produit de la surface du carré par le cosinus de l'angle des deux plaus.
Tous les carrés circonscrits au cercle étant égaux tous les parallélogrammes circonscrits à l'ellipse, et qui sont les projections des carrés, auront même surface ; l'un d'eux est le rectangle avant ses côtés parallèles aux axes, ce qui démontre le théorème.
Si a' et b' sont deux demi-diamètres conjugués faisant entre eux l'angle 6 on aura la relation
a'b' sin 6 = ab.
(c) Connaissant deux diamètres conjugués d'une ellipse, trouver ses axes (tig. 64).
Soient A A' et 1(1!' les deux diamètres conjugués donnés: menons par le poinl li la perpendiculaire BL à AA' et prenons sur cette droite la longueur HK - OA ; joignons le point 0 au point K et décrivons sur OK comme diamèlre une circonférence : joignons le point B au centre 1 ; cette droite coupe la circonférence eu deux points M et N ; je dis que BN est égal au demi-grand axe et BAI an demi-petit axe de l'ellipse. En effet :
D'après les théorèmes d'Apollonius, on a :
ab — a'b' sin 8.
d'où en doublant les deux membres de la deuxième égalité et la retranchant de la première
(a — bf = a'2 + b'2 — 2a' b' sin 0 . Dans le triangle BOK, nous avons :
