AB S, — S

tl — t ~ i, — t '

C'est ce que nous appellerons la vitesse moyenne dans l'intervalle AB.

Un mobile fictif, animé d'un mouvement uniforme, qui parcourrait avec

cette vitesse l'intervalle AB, partirait du point A et arriverait au point B en

même temps que le mobile considéré.

S,— S bb.

La vitesse movenne = —r i

f, — t aby

est la pente delà sécante ab de la courbe des espaces.

Si l'intervalle AB devient infiniment petit et tend vers zéro, la vitesse moyenne a pour limite la vitessse au point A. La valeur de cette vitesse, abi

lim, .-r- > est la pente de la tangente au point a à lu courbe des espaces.

La vitesse en chaque point est donc donnée par la penle de la tangente en ce point à la courbe représentative des espaces.

Par un raisonnement analogue à celui qui a été fait pour le mouvement curviligne uniforme, on ferait voir que la vitesse est dirigée à chaque instant suivant la tangente à la trajectoire; elle est positive si le mouvement est direct, négative s'il est rétrograde.

(c) Courbe représentative des vitesses.— Cetle courbe M'N'P'Q' est la représentative des pentes de la courbe des espaces. On pourra donc la construire facilement en appliquant les remarques suivantes:

A toul maximum P ou minimum M de la courbe des espaces (points pour lesquels la tangente est horizontale) correspond une vitesse nulle P' ou M' et un changement de sigue de la vitesse.

A tout point d'inflexion N ou Q de la courbe des espaces correspond un maximum N' ou un minimum Q' de la vitesse.

8o. Mouvements uniformément variés.

(a) Définition. — Le mouvement uniformément varié est celui dans lequel la vitesse croît ou décroit de quantités égales dans des temps égaux. Les accroissements de la vitesse sont donc proportionnels au temps.

Si la vitesse croît avec le temps, le mouvement est uniformément accéléré ; si elle décroit avec le temps, le mouvement est uniformément retardé.

(b) Vitesse dans ces mouvements. — Accélération. — Soit v0 la vitesse initiale pour ! - 0; au bout du temps t, elle sera :

CINÉMATIQUE XX.W

dans le mouvement accéléré v = Vo -t-jt

» » retardé v — v» — jt.

La quantité j s'appelle l'accélération.

Si dans les formules précédentes nous faisons t — 1, nous aurons: pour le mouvement accéléré v = v0 d'où j — v — va ;

pour le mouvement retardé v zr Vo — j, d'où — j — v — Vo.

fi'

Fig. 74 Kig. 75

L'accélération est donc égale à l'accroissement pris par la vitesse pendant l'unité de temps; elle est positive dans le cas du mouvement accéléré, et négative dans le cas du mouvement retardé.

(c) Représentation de la vitesse et de l'accélération (fig. ",:',).

— La vitesse sera représentée par une droite, AB ou ABf, dont l'ordonnée à l'origine est v0 et dont la pente est égale à j en valeur absolue : cette pente est positive si le mouvement est accéléré (voir la droite AB), négative s'il est retardé (voir la droite ABt).

L'accélération sera représentée par une droite parallèle à l'axe des temps, située au-dessus de cet axe pour le mouvement accéléré (voir la droite CD), et au-dessous pour le mouvement retardé (voir la droite CjD,).

On voit que l'accélération est la pente de la représentative de la vitesse ; elle joue donc par rapport a celle-ci le même rôle que joue la vitesse par rapport aux espaces parcourus. On dit quelquefois, pour cette raison, que c'est la vitesse de la vitesse.

(d) Équations des mouvements uniformément variés (fig.76).

— Soit un mouvement uniformément accéléré de vitesse v = Vo-hjt. Nous supposons qu'a l'instant initial le mobile est a l'origine des espaces.

Considérons le mobile à l'instant ti ; sa vitesse est représentée par B6 — v,. Si pendant un intervalle de temps très' petit ±tlt nous remplaçons le mouvement uniformément accéléré par un mouvement uuiforme de vitesse i>, le chemin parcouru Vi X Af j différera très peu du chemin réellement parcouru dans le mouvement vrai.

L'espace total parcouru depuis l'origine jusqu'à l'instant t dans une série de petits mouvements uniformes analogues sera la somme des quantités telles que UiX -Mi ! celte somme différera d'autant moins de l'espace S parcouru dans le mouvement accéléré que les intervalles A/, seront plus petits, et elle a pour limite l'espace parcouru S (v. fig. 76 à la page suivante).

Or, sur la figure, t;,X est la surface du rectangle Bfrjft'fe, et la limite de la somme des rectangles ainsi obtenus est la surface du trapèze compris entre l'axe des espaces et l'ordonnée B'// correspondant à l'instant t.

L'espace parcouru au bout du temps t est donc

qui représente la surface de ce trapèze AO'6'B',

ou b ~ v0t + -jt-.

Si de plus, le mobile étail'a l'instant initial à la distance S0 de l'origine sur sa trajectoire, sa position à l'instant t sera donnée par l'expression

(0 S = S0 + vat+l-jt*.