V1 COMPLÉMENTS DE

MATHÉMATIQUES

Telle est l'équation générale d'un mouvement uniformément accéléré. Si le mouvement est uniformément relardé son équation est

(2) s = sn + ty-^.

i Représentative des mouvements uniformément variés

(fig. 76). — La courbe des espaces du mouvement uniformément accéléré est :

s = s0 + ty +|;*2.

C'est une parabole a axe vertical dont le paramètre est p — — ; elle

coupe l'axe des S au point d'ordonnée S0. Au sommet de la parabole, la tangente est horizonlalc, et ce point correspond par suite ii l'abscisse

du point C oii la représentative des vitesses coupe l'axe des T.

Dans le cas du mouvement uniformément retardé, la parabole a pour para-

, 1 vn

mètre p = — — i et pour abscisse de sou sommet t = — ■

(f> Conséquences des formules du mouvement uniformément accéléré.

i n De la formule S = Sn 4- vat -+- - jt2,

(vo + jt)

est la vitesse moyenne eu Ire le point initial et le point correspondant

on tire :

S — Sn t

au temps t; v0 est la vitesse iniliale, (v0-j-jt), la vitess'e au bout du temps t.

Donc : La vitesse moyenne pendant un certain temps est la moyenne des vitesses au commencement et à la fin de ce temps.

2° Si dans les formules de la vitesse et de l'espace parcouru, nous faisons S0 — 0 et Vo,— 0, c'est-à-dire, si le mobile part du repos à l'instant initial, nous avons :

v ==jt et S — -jt2.

La vitesse est proportionnelle au temps ; l'espace parcouru est proportionnel au carré du temps.

3° Si dans ces deux dernières formules, nous faisons 1 = 1, elles deviennent :

« = j, S = - j. Donc :

La vitesse à la fin de la première seconde du mouvement est égale à l'accélération. L'espace parcouru pendant la première seconde est égal h la moitié de la vitesse a la fin de cette première seconde.

Fig. 76

Fig. 77

86. Exemple de mouvement uniformément accéléré. — Mouvement de la chute des corps. — Son étude expérimentale (fig. 77). — Le mouvement d'un corps tombant librement dans le vide est un mouvement uniformément accéléré.

On le vérifie expérimentalement au moyeu de la machine d'Atwood, qui est basée sur un principe de dynamique que nous étudierons plus tard, ou bien de la machine du général Morin.

Celte machine, construite par le général Morin sur les indications du général Poncelet, se compose, essentiellement d'un cylindre vertical en bois sur lequel ou enroule une feuille de papier ; devant ce cylindre tombe une masse en plomb guidée dans son mouvement entre deux fils métalliques verticaux, et armée d'un crayon, ou mieux d'un pinceau qui trace sur le papier.

Le cylindre est monté entre deux pointes, ce qui lui donne une grande mobilité, et ou lui imprime un mouvement uniforme de rotation. Le crayon étant immobile trace, lorsque le cylindre tourne, un cercle sur le papier; si la masse descend et que le cylindre reste immobile, le crayon trace une ligne verticale qui est une génératrice du cylindre. Si on remonte la masse, puis qu'on la laisse tomber lorsque le cylindre tourne, le crayon trace une courbe qui, une fois le cylindre fendu suivant la génératrice de départ et développé, représente la courbe des espaces du mouvement de la chute des corps.

Supposons que le cylindre fasse, pour fixer les idées, un tour en une seconde, nous pourrons considérer sa base développée comme axe des temps et la diviser en 10 parties égales qui seront des dixièmes de seconde. La génératrice OS sera l'axe des espaces, et les longueurs aA, &B, cC, etc., seront

les espaces parcourus pendant — > — , — , etc., de seconde. Par mesure 10e 10e 10e

directe, prise sur la figure, ou reconnaîtra que chaque ordonnée a une longueur proportionnelle au carré de sou abscisse et que, par suite, la courbe tracée est une parabole (fig. 77).

Le mouvement de la chute des corps est donc uniformément accéléré ; son accélération se désigne par la lettre g, et on l'appelle la gravité ou l'intensité de la pesanteur ; sa valeur est 9m,8088 a Paris; mais elle est variable en différents points, et plus forte au pôle qu'à l'équateur.

Les équations du mouvement de la chute des corps sout donc

v = (Jt,

D'oii l'on déduit t

= y/ —, donnant le temps qu'un corps met à tomvitesse acquise par un corps après

ber d'une hauteur S ; et v une chute d'une hauteur S.

87. Etude du mouvement sur sa trajectoire. — Mouvement relatif. — Mouvement d'entraînement. — Mouvement composé. — Considérons un mobile marchant sur un bateau qui se déplace lui-même sur une rivière : on peut considérer :

1°Lc mouvement du mobile tel que le voit un observateur placé, sur le baleau, en un point fixe ; c'est le mouvement relatif du mobile par rapport à ce point fixe, ou encore le mouvement apparent du mobile ;

2° Le mouvement du baleau tel que le voit se produire un observateur placé en un point fixe de la rive; c'est le mouvement d'entraînement .

3° Le mouvement du mobile qui se' déplace sur le bateau, tel que le voit l'observateur placé sur la rive ; c'est le mouvement absolu du mobile ; en considérant la terre comme fixe dans l'espace.

Ce mouvement absolu peut être considéré comme composé de deux mouvements simultanés : le mouvement relatif du mobile par rapport au bateau et le mouvement d'entraînement du système complet, bateau el mobile.

En réalité le mobile ne décrit dans l'espace qu'une seule trajectoire, mais on pourrait l'amener en un point de celle trajectoire par les deux mouvements suivants : 1° en déplaçant le mobile sur le baleau, celui-ci restant fixe ; 2" en déplaçant le bateau, le mobile y restant fixe par rapport à lui.

Le résultat sera le même quel que soit l'ordre dans lequel les deux mouvements seront produits.

88. Principe de l'indépendance des mouvements composés. — Ce principe, fourni par l'observation, constitue l'un des postulat a de la mécanique.

Les mouvements relatifs de plusieurs corps ne sont pas modifiés lorsqu'on imprime à l'ensemble de ces corps un mouvement commun d'entraînement.

Ainsi un corps qu'on laisse tomber du haut du mât d'un navire tombe toujours au pied de ce mât, que le navire soit ou non en mouvement.

11 en résulte qu'on pourra étudier isolément les divers mouvements et les composer ensuite entre eux.

MÉCANIQUE GÉNÉRALE — CINÉMATIQUE

S9. Repérage des points d'un solide invariable (fig 18). — Un solide invariable est tel que tous ses points restent à des distantes constantes les uns des autres. C'e9t une définition.

On pourra détormiuer uu tel solide en rapportant tous ses points à trois axes fixes par rapport à lui. Ri on connaît 1e mouvement des trois axes, on pourra à chaque instant, puisqu'on conuait les coordonnées de tous les points du solide, connaître leur position.

On peut encore prendre dans le solide trois points non eu ligue droilc constituant un triangle de dimensions invariables, et repérer tous les points du solide, par rapport à ce triangle, de deux manières (fig. 78) :

1° En abaissant du point M du solide qu'il s'agit de repérer uue perpendiculaire Mm sur le plan du triangle ; la position du poiut m et la longueur /«M déterminent le point M ;

2° En mesurant les trois longueurs MA, MB et MC.

Connaissant le mouvement du triangle repère ABG, c'est-à-dire -les mouvements de trois poinls A, 1! et C du solide, on saura Irouver a chaque instant la position de tous les points du solide.

Fig. 78 Fiff. 79 Fig. 80

90. Mouvement de translation (fig. 79). — Lorsque trois points d'un solide invariable déciivent, dans le même temps, dps trajectoires égales et parallèles, on dit que le solide est animé d'un mouvement de translation .

Les trois trajectoires AA', l!B' et CC, décrites dans le nu": me temps par les trois points A, 15 et C du solide, étant égales et parallèles, il en résulte que les cordes AA', BB', CC de ces trajectoires sont égales et parallèles, et que les côtés du triangle A'B'C sont parallèles à ceux du triangle ABC.

Si la position A'B'C est infiniment voisine de ABC, le déplacement ayant

AA' BB' CC J eu lieu dans le temps M, les vitesses moyennes -jr i » des trois

points A, B et C sont égales. A la limite, les vitesses en A, B et C sur les trois trajectoires sont encore égales, et elles sont dirigées suivant les tangentes en ces points aux trois trajectoires, et par suite, parallèles.

Ainsi, dans ce mouvement, le solide se déplace tout entier parallèlement à lui-même, et fous ses points sout, à un même instant, animés de vitesses égales et parallèles.