Conséquences des trois principes de la dynamique

(«) Mouvement d'un point matériel partant du repos et soumis à une force F constante en grandeur et en direction. —

Considérons le poiut matériel M soumis a la force F, il se dirigera au début suivant la direction de la force; au bout de une seconde, il aura acquis une vitesse 9. Si k ce moment la force F cessait d'agir, le point M continuerait son mouvement dans la même direction et avec la vitesse 6 : cela résulte du principe de l'inertie, c'est-k-dire du 1er principe.

Ce mouvement uniforme peut être considéré comme uu mouvement d'entraînement ; la force agissant encore k partir de ce moment, va produire le même effet que si elle agissait seule sur le corps au repos ; elle va lui communiquer une vitesse 0 au bout de une seconde dans la direction de la force ; ce mouvement peut être considéré comme un mouvement relatif ; donc au bout de la deuxième seconde, le corps sera soumis a deux vitesses égales et de même direction, dont la résultante sera 20 : cela résulte du 3° principe.

En répétant le même raisonnement pour la troisième seconde, on verrait que la vitesse a la fin de cette troisième seconde est 39, et ainsi de suite.

Le raisonnement que nous venons de faire pour des intervalles de temps de une seconde serait encore vrai pour des intervalles de plus en plus petits ; le mouvement du point M esl donc rectiligue, et tel que sa vitesse est proportionnelle au.lemps.

On a donc, t représentant le temps en secondes,

V = Qt,

ce qui caractérise le mouvement uniformément accéléré (voir n° So-f) ; et l'équation du mouvement esl

S0 représentant la distance du point à l'origine des espaces au moment où la force F a commencé à agir.

Ainsi donc ce mouvementest uniformément accéléré ; son accélération est 9, vitesse acquise au bout de une seconde, et elle est dirigée dans le sens de la force.

( '.< IMPLÉMENTS DE MATHÉMATIQUES

Réciproquement. — Si un point matériel est animé d'un mouvement rectiligne uniforinémenl varié, ou peut affirmer qu'il est soumis à l'action d'une force constante dont la direction est celle de son mouvement.

En effet le corps est évidemment soumis a l'action d'une force, sans quoi son mouvement serait uniforme. Si la force avait à uu instant donné une direction différente de celle du mouvement, le mouvement résultant du mouvement communiqué par cette force à l'instant considéré et du mouvement antérieure» ment acquis ne serait (dus dans la direction de ce dernier ; enfin la force a une intensité constante puisqu'elle augmente la vitesse de quantités égales dans îles temps égaux, si petits soient-ils.

(b) Mouvement d'un point matériel animé d'une vitesse v0 et soumis à une force F constante en grandeur et en direction et ayant même direction que la vitesse va. — Considérons le mouvement uniforme de vitesse Vo comme un mouvement d'entraînement, le mouvement communiqué par la force F étant un mouvement relatif qui a pour vitesse v = jt.

Par hypothèse ces deux mouvements ont même direction, leurs vitesses ont même direction et la vitesse résultante est la somme des deux autres V = Vo + jt.

Le mouvement du point matériel est donc un mouvement uniformément accéléré de vitesse initiale D» et d'accélération j.

(c) Mouvement d'un point matériel animé d'une vitesse vc et soumis à une force F constante en grandeur et en direction, la direction de la vitesse v« étant différente de celle de la force F. — Le point sera soumis à un mouvement d'entraînemeut uniforme de vitesse v- et à un mouvement relatif uniformément accéléré de direction différente et de vitesse v =jt.

En composant ces deux mouvements nous obtiendrons un mouvement parabolique. (Voir n° 92-e.)

(d) Mouvement d'un point matériel pris au repos et soumis à l'action de deux forces F et F' dont les directions coïncident. — Puisque chaque force agit comme si elle était seule, la force F communique au point matériel un mouvement uniformément varié d'accélération j; la force F' lui communique un mouvement uniformément accéléré d'accélération j'. L'espace parcouru dans le premier mouve-

meut est — j<2 ; l'espace parcouru dans le second est - j t2.

Les deux forces agissant en même temps, leurs effets s'ajoutent, et comme les deux mouvements ont la même trajectoire, le point matériel aura parcouru au bout du temps t

Le mouvement résultant est donc uniformément varié et a pour accélération la somme 'J+j') des accélérations dues aux deux forces F et F'.

On pourra trouver une force ç capable de communiquer au point matériel l'accélération fj-f-j'); cette force sera égale à la somme des deux autres cl aura même direction.

Donc deux forces agissant sur un même point matériel dans une même direction peuvent être remplacées par une force unique égale à leur somme algébrique. Nous déduirons de là deux théorèmes, savoir :

(e) Théorème I. — « Deux forces sont proportionnelles aux accéléra- " tions qu'elles impriment à un même point matériel. »

En effet la force F produisant l'accélération j, d'après ee qui précède, la force 2F produira l'accélération 2j, la force 3F, l'accélération 3j, et en général la force nF produira l'accélération nj. Celte propriété est indépendante de l'état de repos ou de mouvement du point matériel considéré.

([) Théorème II. — « Deux forces égales, de même directiou et de « sens contraire appliquées à un même point matériel ne modifient pas sou u état de repos ou de mouvement. »

Ces forces communiquent en effet au point matériel des accélérations égales . et de sens contraire, et l'accélération résultante est nulle.

Ou dit alors que le point»esl en équilibre sous l'action des deux forces qui lui sont appliquées.

Corollaire. — " Deux forces sont égales loi squ'elles font séparément « équilibre S une troisième. »

(g) Mouvement d'un point matériel partant du repos et soumis à deux forces F et F' de directions quelconques. —

Chacune des deux forces F et F' agissant seule communiquerait au point matériel un mouvement uniformément varié dans sa propre direction ; l'accélération due à la première étant j, celle due à la seconde étant j', nous avons vu (n" 92-d) q ie le mouvement résultant était un mouvement uniformément varié dont l'accélération J est la résultante géométrique des accélérations ; et j' .

Ce mouvement pourrait être produit par une force ç unique, proportionnelle à l'accélération J et ayant même direction. Cette force se nomme la'résultante, des forces F et F'. .

Puisque l'accélération J est, en grandeur et direction, la diagonale du parallélogramme construit sur les deux accélérations j et j', il en résulte, à cause de la proportionnalité des forces et des accélérations, que la résultante o des deux forces F et F' est la diagonale du parallélogramme construit sur ces deux forces.