Mesure de l'intensité d'une torce. — Unité de force
Nous avons vu que le mouvement de la chute des corps est uniformément accéléré, et par suite, il est dû à une force constante qui est ce que l'on nomme le poids du corps.
Ce poids sera le même à tous les instants en un même point de la terre, et par suite, pourra servir d'unité de force.
Le poids que l'on prendra comme unité de force est le kilogramme ; c'est le poids d'un litre d'eau distillée prise au maximum de densilé, c'est-à-/iire à 4'degrés centigrades.
Ce poids produira sur le ressort d'un dynamomètre un raccourcissement déterminé, de sorte qu'après ce raccourcissement, la tension du ressort fera équilibre a une force de 1 kilogramme.
Toute force qui produira sur le ressort le même raccourcissement fera alors équilibre à la tension du ressort et l'on dira que c'est une force de 1 kilogramme ; c'est là une définition que nous compléterons comme suit :
1° Une force de n kilogrammes serait nue force produisant sur uu dynamomètre le même raccourcissement que n forces de chacune 1 kilog. agissant ensemble et dans le même sens ; c'est nue définition ou plutôt une convention, qui s'appliquerait aussi bien à 3, 4 et à un nombre entier quelconque.
2° Une force de \/n de ki'.og. sera une force telle qu'il faudrait faire agir sur un dynano'iiètre n forces égales à elle pour produire le même effet que 1 kilog. ;
3° Une force égale à mjîl de kilog. (à 5/7 de kilog. par exemple) serait une force telle qu'il en faudrait n (c'est-à-dire 7) pour produire le même effet que m (c'est-à-dire 5)' kilogrammes.
Une force s'exprimera donc par le nombre de kilogrammes, entier ou fractionnaire, capables de produire sur le ressort d'un dynamomètre le même raccourcissement que celle force.
98. Valeur de l'accélération due à une force F. — Le poids I' d'un corps est une force et nous savons que cette force, dite de pesanteur, communique à ce corps une accélération g = 9m,8088.
Une force F communiquera a ce corps une accélération j, et l'on aura, d'après le théorème, n" 96-f, qui dit que les forces sont proportionnelles aux accélérations qu'elles impriment, à un même point matériel,
Inversement, connaissant l'accélération j communiquée à un corps de
poids P par une force F, la valeur de celte force est F == — X J- 99. De la masse.
(a) Définition. — Nous avons vu que les forces sont proportionnelles aux accélérations qu'elles impriment à un même point matériel ; donc si des forces F, F', F" appliquées à un poiut matériel lui communiquent des accélérations j,j',j", nous aurons
— = -r- = -r-r = m , quaulilé constante.
Nous allons chercher à préciser le-caraclère de cette expression m.
Si nous considérons un corps solide, qui est un ensemble de points malé-
MÉCANIQUE GENERALE STATIQUE
riels, la propriété précédente lui sera applicable, et le rapport entre une force et l'accélération qu'elle imprime à ce corps solide sera encore constant.
Ce rapport constant pour un même corps, est variable d'un corus k l'autre ; la même force imprimera à différents corps des accélérations plus ou moins grandes, et par suite leur communiquera un mouvement plus ou moins rapide.
L'accélération sera d'autant plus grande que la quantité m sera plus petite ; cette quantité m indique donc, en quelque sorte, la capacité d'inertie du corps considéré ; on l'appelle la masse du corps.
La niasse d'un corps est donc la propriété, résultant de l'inertie de la matière, que possède ce corps de se laisser communiquer par une force une accélération plus ou moius grande, inversement proportionnelle à cette masse.
La masse ne constitue pas une résistance au mouvement.
(b) Mesure de la masse. — Unité de masse. — On dira que deux corps ont même masse lorsque la même force leur communiquera la même accélération, c'est-à-dire leur fera acquérir des vitesses égales dans des temps égaux.
Deux corps seront de masse double, triple, etc., l'une de l'autre s'il faut des forces double, triple, elc. l'une de l'autre pour leur communiquer une même accélération.
Cela revient k considérer la masse d'un corps comme proportionnelle au F
quotient y d une force appliquée à ce corps par 1 accélération qu elle lui imprime.
On prend comme valeur de la masse du corps la valeur de ce quotient.
L'unité de masse sera la masse d'un corps qui, sous l'influence d'une force de 1 kilogramme, prendrait au bout de une seconde de mouvement une vitesse égale à 1 mètre : cette vitesse étant, comme on l'a vu, égale à l'accélération .
Puisque le poids d'un corps est une force constante qui lui communique
l'accélération g, la masse d'un corps de poids P est m = — •
Le corps possédant l'unité de masse pèsera donc P = </ — 9k,8088, à Paris .
Ainsi donc la masse d'un corps est proportionnelle à son poids, mais elle est constante pour un même corps eu tous les points de l'espace, tandis que le poids d'un même corps est plus faible à l'équateur qu'au pôle.
(c) Problèmes.
1° Connaissant la masse d'un corps et la force qui agit sur lui, trouver l'accélération que celte force lui communiquera.
De la relation - = m, on lire : j = — •
2° Connaissant la masse d'un corps, trouver la force capable de lui imprimer une accélération donnée.
De la même formule j = m, on lire F = mj.
(d) Théorème. — « Deux forces sont entre elles comme les niasses « auxquelles elles communiquent la même accélération. » En effet :
Les forces F et F' communiquant à deux masses m et m' la même accélération j, on a d'après ce qui précède
F = mj et F' = m'j, F mj m
d'où — = — f . = — • C.Q.F.D.
t mj m
Corollaire. — « Une même force communique k deux corps différents des « accélérations inversement proportionnelles k leurs masses ou k leurs poids. »
La force F agissant sur deux corps de masses m et m' leur communique respectivement les accélérations j et j' ; on a donc
F = mj, F — m'j',
d'où
et
mj — mj
Comme, en un même lieu, les poids sont proportionnels aux masses, il en résulte que l'on a aussi
p et p' étant les poids respectifs des deux corps, poids mesurés en un même point de la terre.
(e) Application. — Machine d'Atwood. — Cette machine a pour objet de vérifier les lois de la chute des corps.
Elle se compose essentiellement d'une poulie, extrêmement légère et mobile, sur laquelle passe un fil très fin aux extrémités duquel sont attachés deux poids rigoureusement égaux P. Le poids du fil, les frottements et l'inertie de la poulie sont négligeables par rapport aux deux poids P et ceux-ci restent en équilibre dans toutes les positions.
Si l'on ajoute sur l'un des poids P une masse additionnelle p, celui-ci va se mettre en mouvement en entraînant tout le système.
Le poids additionnel p, tombant librement, prendrait l'accélération g ; lorsqu'il tombe en entraînant les deux poids P, le système en mouvement pèse (2P -f- p) et l'accélération g' qu'il prend est donnée par la relation
d'où
L'accélération g' sera plus petite que g. Le mouvement obtenu sera de même nature que le mouvement de la chute libre du poids p, mais moins rapide .
Les vitesses et les espaces parcourus seront réduits dans le même rapport que l'accélération, ce qui permettra d'étudier les lois de la chute des corps sur un appareil de faible hauteur. (Pour plus de détails, voir un traité quelconque de physique.)
— Statique
Composition des forces situées dans un même plan. 100. Préliminaires .
(a) Définition. — Un système de forces agissant sur un point matériel ou sur un solide invariable est dit en équilibre lorsqu'il ne peut imprimer k ce point, ou à ce solide, pris au repos aucun mouvement, ou qu'il ne peut, si le point ou le solide sont en mouvement, modifier ce mouvement antérieurement acquis, lequel, on le sait, est rectiligue et uniforme.
[b) Principes.
1° On peut toujours supprimer un système de forces en équilibre, agissant sur un corps, sans modifier l'état de repos ou de mouvement de ce corps, et on peut, dans les mêmes conditions, lui supposer appliqué k un instant donné un système de forces eu équilibre.
2» Si un corps est en équilibre, on peut toujours supposer fixés deux ou plusieurs de ses points sans changer son état d'équilibre. Ces principes sont évidents.
(c) Théorèmes.
Théorème I. — « On peut déplacer le point d'application d'une force sur « sa propre direction, pourvu que le deuxième point d'application choisi fasse « partie du système matériel auquel est appliquée la force, ou soit lié invaii riablement k ce système » (fig. SI).
Appliquons en effet au point B, pris sur ta direction de la force, deux forces égales entre elles, mais de sens contraire, égales k la force F douuée et ayant même direction ; la condition du système ne sera pas modifiée puisque deux
STAB. COMP1 6
pareilles forc'es se font équilibre. Les deux forces F et F" égales et directement opposées sont en équilibre et peuvent être supprimées; il no reste donc plus que la force F' égale à la force F et de même sens, mais appliquée au point B. C. Q. F. D.
C'est pour cette raison que la ligne AB se nomme la ligne d'action de la force F.
Théorème II. — « Si un corps, libre de tourner autour d'un point fixe ou « d'un axe fixe, est sollicité par une force passant par le point fixe ou située « dans le même plan que l'axe fixe, ce corps restera en équilibre. »
En effet, on pourra toujours, en déplaçant la force sur sa propre direction, amener son point d'application a être au point fixe ou en un point de l'axe fixe où son effet se trouve détruit ; ou peut alors regarder la force comme équilibrée par une réaction égale, de même direction qu'elle, et de sens contraire au sien, due au point fixe ou a l'axe fixe.
Théorème III. — « Deux forces agissant sur un corps ne peuvent se faire « équilibre que si elles agissent dans la même direction et si elles sont égales « entre elles et de sens contraire. »
En effet, le corps étant en équilibre sous l'action de deux forces F et F', nous pouvons toujours, d'après le deuxième principe, supposer fixé un point de la force F' par exemple; cette force est alors détruite par le point fixe, et l'équilibre ne pourra subsister que si la force F passe par ce même point. Comme on peut faire le même raisonnement pour tous les points de la force F', les forces F et F' doivent être directement opposées et égales.
Théorème IV. — « Si plusieurs forces se fout équilibre sur un corps, l'une « quelconque d'entre elles est égale et directement opposée a une force unique « qui produit le même effet que toutes les autres » (fig. 88). En effet :
COMPLEMENTS DE MATHÉMATIQUES
(b) Les forces ne sont pas concourantes. (Voir 1" partie, n° 23.)
Fig. 8S
Soit un corps en équilibre sous l'action des forces F, Fi, F2 et F, ; j'applique au point . d'application de F une force F' égale et directement opposée a la force F. L'effet produit sur le corps est le même que si la force F' agissait seule, puisqu'on peut, d'après le premier principe, supprimer le système des forces en équilibre F, F,, Fs et F3.
Mais d'autre part, ou peut considérer les forces F,, F2 et F3 comme agissant seules, si on supprime les deux forces en équilibre F et F'.
Donc la force F' produit le même effet que les trois forces réunies Ft, F2 et F3 ; on l'appelle la résultante de ces forces; on dit alors que Fi, F2 et F3 sont les composantes de F'.
La force F, égale et directement opposée a la force F', est dite l'équilibrante des trois forces Fj, F2 et F3.
La résultante des quatre forces F, Fj, F2 et F3 est alors la même que celle des deux forces F et F', et elle est par suite nulle.
Donc plusieurs forces qui se font équilibre sur uu corps ont une résultante nulle, et réciproquement.
101. Composition de deux forces appliquées en un même point. (Voir lr« partie, nos 18 et suivants.)
102. Composition de forces, en nombre quelconque, situées dans un même plan.
(a) Les forces sont concourantes en un même point. (Voir 4" partie, n° 18.)
103. Décomposition d'une force en deux autres. (Voir 1" partie, n» 28.)
104. Décomposition d'une force en trois autres. (Voir 1" partie, n" 31) (1).
