Equivalence et équilibre de deux couples

(a) Théorème I (fig. 91). — « Un couple peut être équilibré par un

« autre couple de même centre que lui, dont les forces sont égales mais diri- « gées de manière que les deux couples soient de signes contraires, et aient t le même bras de levier. »

Considérons un premier couple FF" et un second couple F'F'. Supposons que le centre 0 soit commun, que les bras de levier AD et CD soient égaux et que les forces F et F soient égales aux forces F' et F', tandis que les rotations sont de sens différents.

Composons au point E, où elles se rencontrent, les deux forces F et F' ; leur résultante, puisqu'elles sont égales, est dirigée suivant la bissectrice de l'angle F'EF, qui, par raison de symétrie, est dans le prolongement de celle de l'angle AOC.

De même les deux forces F et F', qui se rencontrent au point K, ont leur résultante dirigée suivant la bissectrice de l'angle DOB, c'est-à-dire dans le prolongement de la première, mais de sens contraire.

Comme ces deux résultantes sont de plus égales, elles se font équilibre. Le système des deux couples est donc en équilibre.

Corollaire. — Si on fait tourner un couple d'un angle quelconque autour de son centre, il reste équivalent a lui-même.

(6) Théorème II (fig. 92). — « Deux couples qui ont même centre et « dont lesmoments sont égaux en valeur absolue, mais de signe contraire, se « font équilibre. » (V. la fig. 92 à la page suivante.)

Faisons tourner le deuxième couple autour de son contre jusqu'à ce que son bras de levier devienne perpendiculaire à celui du premier, il reste équivalent à lui-même. Composons alors les deux forces de droite F et F' au poiut K où elles se rencontreut. Leur résultante est la diagonale du rectangle construit sur ces deux forces et elle passe au point 0 à cause de la relation

F X f = Va

qui entraîne

Cette relation indique que les moments des deux couples sont égaux eu valeur absolue.

Composons de même les deux forces de gauche au point E où elles se rencontrent, leur résultante passera aussi au point 0 ; elle sera égale à la précédente, dans la même direction, mais de sens contraire.

Ces deux forces, et par suite les deux couples, seront donc en équilibre.

Corollaire. — On peut changer les forces et le bras de levier d'un couple, et le faire tourner dans son plan autour de son centre, pourvu que son moment reste lé même.

(c) Couple unifié. — Si l'on ramène le bras de levier d'un couple à être égal à l'unité de longueur, on dit que ce couple est unifié ; son moment est alors numériquement égal à la valeur de sa force.

(d) Théorème III. — « Deux couples situés daus un même plan, ou « dans des plans parallèles, et dont les moments sont égaux en valeur abso- « lue, et de sens contraire, se font équilibre. »

Amenons (fig. 93), par une rotation autour de son centre, le deuxième couple à avoir son bras de levier CD' parallèle à celui du premier, AB.

Composons les deux forces F et F' parallèles et de même sens appliquées l'une eu A, l'autre en D' ; le point d'application de leur résultante sera le point 0 de la droite AD', tel que l'on ait :

XL1V COMPLÉMENTS DE MATHEMATIQUES