Centre de gravité des lignes

(a) Ligne droite. — Le centre de gravité d'une ligne droite est en son milieu.

(b) Ligne brisée régulière (fig. 101). — Le centre de gravité d'une ligne brisée régulière est sur le diamètre perpendiculaire au milieu de la corde qui joint les deux extrémités de la ligne brisée ; sa distance au centre du cercle inscrit dans la ligne brisée est égale au produit du rayon de ce cercle par la corde, divisé par la longueur de la ligne brisée. En effet :

Menons le diamètre XX' du cercle inscrit dans la ligne brisée, parallèle a la droite AF qui joiut les deux extrémités de la ligne brisée; le centre de gravité se trouvera sur la perpendiculaire OY à ce diamètre, puisque celte droite est un axe de symétrie de la figure.

Appliquons au milieu de chaque côté une force proportionnelle à la longueur de ce côté, et dirigée parallèlement au diamètre XX'.

La résultante de ces forces passera au centre de gravilé, d'après ce qui a été dit précédemment, et le moment de celte résultante par rapport au plan perpendiculaire au plan de la figure et passant par XX', sera égal à la somme des moments des composantes par rapport à ce même plan.

Considérons par exemple une force f appliquée au milieu H du côté AH et dont nous prenons la longueur égale a AB. Son moment par rapport à XX' est

fX H7< = AB X HT».

Les triangles semblables ABK, OHft. douuent

£1 = à* , d'où AB X HA = HO X AK .

OH H/i.

Le moment de la force correspondant à un côté est donc égal au produit du rayon du cercle inscrit par la projection de ce côté sur le diamètre XX'.

La somme des moments des divers côtés de la ligne brisée sera donc égale au rayon du cercle inscrit multiplié par la projection de la ligne brisée sur le diamètre XX', e'est-a-dire par la corde AF.

Fig. loi

Le momept de la résultante appliquée au point inconnu G, sera GO X (AB + BC + CD 4- DE -f- EF) et l'on devra avoir, en appelant L la somme entre parenthèses, HO X AK = LXGO; HO X AF

d'où