NATURE DKS RÉACTIONS DEA

poutre repose sur trois appuis (tig. 120), on conçoit que si les poids P et P' qui agissent sur les deux travées sont convenablement placés, il sera possible de faire prendre à la

Fig. 126

Fig. 127

section normale de la poutre qui est située au-dessus de l'appui intermédiaire A telle direction qu'on voudra ; il y a donc encastrement au-dessus de l'appui A.

5° La pièce est coincée à ses extrémités contre les murs d'appui, ainsi que l'indique la lig. 127 ; on réalise alors Y encastrement à coins de Clapeyron.

En somme, l'encastrement est obtenu au-dessus d'un appui lorsque, par un procédé quelconque, on force la fibre neutre ou, ce qui revient au même, la section normale, à conserver ou à prendre une direction invariable.

168. Réaction complète d'un encastrement. — Géométriquement, nous définirons un encastrement par l'angle <p que, grâce à l'encastrement, la fibre neutre sera forcée défaire avec une ligne ûxe prise comme axe de coordonnées et cela, quelles que soient les causes de défiguration qui agiront sur la poutre. En général, cette ligne fixe, prise comme axe de coordonnées, sera la libre neutre elle-même avant que la pièce ne soit soumise à aucune cause de déliguration. Dans ce cas, l'angle d'encastrement sera toujours très petit et pourra être confondu avec sa tangente trigonométrique.

Mécaniquement, un encastrement équivaut à un couple. En effet : imaginons que sur un appui à rotule fixe (fig. 128), après avoir laissé prendre à la section transversale une direction quelconque ab, nous voulions ramener cette section dans une direction donnée ab' ; pour obtenir ce résultat, il faudra faire subir à la section une rotation, et pour cela lui appliquer un couple. Si donc un appui est disposé de telle sorte qu'il produise l'encastrement, il développe, par cela même, un couple, indépendamment de la force de réaction ou réaction à laquelle peut donner lieu l'appui à rotule ûxe.

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Le couple développé par l'encastrement sera nommé couple, ou moment, d'encastrement .

Afin de ne laisser aucun doute sur la coexistence de la force de réaction et du couple d'encastrement, nous allons prendre un exemple simple.

Supposons que dans une boîte d'encastrement (tig. 129) on ait placé l'extrémité d'une poutre ayant du jeu, c'està-dire dont les dimensions transversales soient un peu plus petites que celles de la boîte d'encastrement. Imaginons que l'autre extrémité soit libre. Cette poutre va prendre sa position d'équilibre ; elle s'inclinera d'autant plus qu'il y aura plus de jeu ; elle fera effort sur les points A et B de la boite d'encastrement, laquelle développera, en ces points, des réactions verticales f et F.

Soit P le poids de la poutre et soit d la distance horizontale des points A et B.

Les trois forces f, F et P étant en équilibre, nous pouvons considérer l'une d'elles F comme l'équilibrante des deux

Fig. 128 Fig. 1Ï9

autres f et P. D'ailleurs, toutes ces forces étant verticales, et, de plus, f et P étant de même sens, il faut que l'équilibrante F soit égale à la somme des autres forces prises en signe contraire. On a donc :

Cette égalité nous montre que l'ensemble des réactions f et F développées en A et en B se réduit :

1° Au poids de la poutre, pris en signe contraire (— P) et appliqué en B ;

2° A deux forces verticales /' et — f, égales, de sens contraire et distantes entre elles de la longueur d.

Nota. — La force — f appliquée en B n'a pas été figurée ici, à part; elle est une partie de F.

En résumé, la force — P est la réaction de l'appui ; l'ensemble des deux forces f et — f forme le couple d'encastrement, dont le moment est fx d.

Nous pourrions répéter le même raisonnement dans le cas où les vides de la boite d'encastrement auraient été remplis ; de sorte que nous pouvons dire que : Tout appui encastré donne comme réaction complète la réunion d'une force et d'un couple.

ACTIONS ET REACTIONS DÉVELOPPÉES SUR UNE POUTRE

| 2. — Détermination des réactions de liaison

169. Réactions déterminables par la statique pure. — (a) Représentation schématique des liaisons. — II résulte de la nature même des liaisons que nous venons d'étudier cidessus et des réactions qu'elles sont susceptibles de fournir, que, suivant leur nature et suivant leur nombre, on pourra déterminer ces réactions par la statique pure ou bien on ne pourra le faire qu'en faisant intervenir les déformations élastiques. C'est ce que nous allons faire comprendre.

Afin de faciliter les explications, nous représenterons schématiquement les liaisons comme l'indique la flg. 1 30.

Tout d'abord la poutre, qu'elle soit droite ou courbe, sera figurée par sa fibre neutre, AA', BB' ou CC, que nous supposerons plane, et toutes les forces d'action seront supposées situées dans son plan.

La fig. 130-1 représentera un appui libre. On y voit une rotule B, autour de laquelle la fibre neutre peut

Fig. 130

tourner. Cette rotule peut, elle-même, glisser sans frottement dans une sorte de conduit BD, plan ou courbe. C'est donc bien l'appui libre, à rotule glissante. Cet appui ne peut développer qu'une réaction BC dirigée suivant la normale à la surface d'appui BD. Il ne peut pas développer de couple.

La fig. II représentera l'appui à rotule fixe, dit : articulation.

Il peut développer une réaction Af, ou Af ou Af", dirigée sous un angle quelconque. Il ne peut pas développer de couple.

La fig. III représentera un encastrement. Il peut développer à la fois un couple mm' et une réaction CK, ou CK', dirigée d'ailleurs d'une manière quelconque.

La pièce peut posséder une ou plusieurs de ces liaisons. Nous dirons que son système de liaisons est suffisant \oTsqu'i\ assurera la position absolue de la pièce, et qu'il est insuffisant lorsqu'il n'en sera pas ainsi.

En outre, un système suffisant sera dit strictement suffisant (ou plus simplement système strict) lorsque la statique

pure permettra de trouver les grandeurs des réactions (forces ou couples) ; il sera dit surabondant, s'il n'en est pas ainsi, c'est-à-dire si la statique pure laisse subsister une indétermination.

{b) Liaison par un seul appui libre. — Un seul appui libre A est insuffisant (flg. 131-1.)

En effet, soit R la résultante des forces qui agissent sur la pièce. En la transportant sur la rotule A on donnera naissance à une force R' égale et parallèle à R, et à un couple.

Si la force R' n'est pas normale à la surface d'appui AC, elle déplacera la rotule A, et avec elle toute la pièce ; de plus, le couple la fera tourner autour de la rotule A.

En effet (flg. 131-11), menons les deux normales Al et BI aux surfaces de glissement. Si la résultante R des forces qui agissent sur la pièce ne passe pas par le point de croisement

Fig. 131

de ces normales, alors cette force R pourra être décomposée suivant deux directions, l'une CA normale à la première surface d'appui et qui sera détruite par elle, l'autre CB qui n'étant pas normale à la seconde surface d'appui, ne sera pas détruite et entraînera le mouvement général de la pièce .

Si par exception R passait par le point de croisement I des normales, alors on pourrait la décomposer en deux composantes dirigées suivantIA et IB, et susceptibles, par conséquent, d'être neutralisées par les réactions des appuis. 11 y aurait équilibre statique, mais ce serait un équilibre instable.

Comme cas particulier il y aurait équilibre, si les deux normales AI et BI étaient parallèles entre elles et à la résultante R. Cet équilibre serait instable.

(d) Liaison par trois appuis libres. — Trois appuis libres A, B et C forment un système strictement suffisant. En effet (fig. 132), menons les normales AA', BB', CC aux surfaces de glissement. La résultante R pouvant être décomposée