RÉACTIONS DE LIAISON

tante, il en résulte qu'il y a une infinité de solutions et, par suite, indétermination dans les réactions.

En réalité, ainsi que nous le verrons quand nous étudierons les arcs, celte indétermination n'est qu'apparente. La statique pure est impuissante à déterminer les réactions et il faut faire intervenir les déformations élastiques pour lever l'indétermination.

Ce système est fort employé maintenant dans les arcs montés sur une rotule à chacun de leurs sommiers.

Si deux appuis articulés forment un système de liaison surabondant, à plus forte raison il en sera de même si nous ajoutons d'autres liaisons, de quelque nature qu'elles soient.

(g) Liaison par un encastrement. — Un encastrement C forme, à lui seul, un système strictement suffisant. (V. plus haut, fig. 130-III.)

En effet, transportons la résultante R au point C, nous obtenons ainsi une force R' et nous donnons naissance à un couple mm' qui peut être transporté intégralement au point C. Or, comme le propre d'un encastrement est de pouvoir détruire n'importe quelle force et n'importe quel couple, il en résulte que la réaction complète de l'encastrement se composera d'une force égale et contraire à R' et d'un couple égal et contraire à mm'.

Cette liaison est donc, à elle seule, strictement suffisante ; nous la désignerons sous le nom de système strict n" 2.

Il est évident que si à un encastrement nous ajoutons une ou plusieurs autres liaisons, nous aurons un système surabondant.

Dans les arcs métalliques, on établit assez souvent deux encastrements, à savoir : un à chaque sommier.

En résumé, nous n'aurons jamais à considérer comme systèmes stricts que les systèmes de liaison n° 1 et n° 2 et nous venons d'apprendre à déterminer par la statique pure les réactions auxquelles ils donnent lieu. Tous les autres systèmes seront surabondants.

170. Modifications apportées par un couple aux réactions de liaisons. — Lorsqu'une pièce est en équilibre sous l'influence des forces d'action et des forces de réaction, si l'on vient à lui appliquer un couple, on modifie évidemmentlesréactionsdes appuis. On se rendra facilement compte que ces modifications ne peuvent être évaluées par la statique pure que dans les deux cas de liaisons strictes (système n° 1 et système n°2) étudiés ci-dessus.

Etudions d'abord le cas du système n° 1. Soit mm! un couple appliqué à une poutre soumise au système de liaison n° 1 (fig. 134). — A est une articulation ; R est un appui libre. — Soit d la longueur de la perpendiculaire abaissée du point A sur la normale RN à la surface d'appui du point R. Nous savons que le couple mm' peut être transporté n'importe où dans son plan pourvu que son moment

STAB. 12

ACTIONS ET RÉACTIONS DÉVELOPPÉES SUR UNE POUTRE

ne change pas ; soit M ce moment. Donnons comme bras de

Fis. 134

levier au couple la distance d. Les nouvelles forces X et — X de ce couple devront satisfaire à la relation

Xd = M,

Cela fait, nous pouvons maintenant déplacer le couple Xd de telle sorte que Tune de ses forces, X, passe par B et soit confondue avec la normale BN, tandis que l'autre, — X, passera évidemment par A et lui sera parallèle. Dans ces conditions, les forces X et — X seront susceptibles d'être neutralisées par les appuis, ce qui prouve que les réactions de ces appuis leur sont égales et opposées.

Dans le cas du système strict n° 2, la seule liaison est un encastrement. Par conséquent, nous y transporterons intégralement le couple mm', et comme un encastrement peut neutraliser n'importe quelle force ou quel couple, il en résulte que sa réaction complète, laquelle se compose généralement d'une force Fj et d'un couple M, (v. n°168), sera modifiée par l'adjonction d'un couple égal et contraire au couple mm', sans que la force F, soit altérée en rien.

§3. — Moments fléchissants et efforts tranchants dans une poutre

171. Définitions. — Nous nommons Poutre une pièce longue dont la fibre neutre est une ligne droite et qui est soumise à des efforts d'action (ou forces indépendantes) perpendiculaires à cette fibre neutre (Ex. fig. 135-1 et II). Cette dernière OX sera supposée horizontale et nous la prendrons pour axe des abscisses (ou axe des x). Les actions seront en général des poids. Ce seront donc des forces verticales; algébriquement elles auront le signe négatif.

La poutre considérée dans ce chapitre sera à une seule travée ; nous l'étudierons dans deux positions.

lrc position : elle reposera sur deux appuis (fig. I) ;

2e position : elle reposera sur un seul appui (fig. II). Elle devra donc y être encastrée et nous lui donnerons alors le nom de poutre en encorbellement ou de corbeau.

La poutre est droite, si ses contours extérieurs sont parallèles à la fibre neutre (fig. I). La poutre est courbe, s'il n'en est pas ainsi (fig. II). Mais, en tout cas, même pour une poutre courbe, la fibre neutre est une ligne droite OX. Si la fibre neutre était courbe on aurait un arc et non plus une poutre.

Si la poutre repose sur deux appuis ces derniers peuvent rentrer dans un des trois cas étudiés ci-dessus (v. n° 167).

1er Cas. — La poutre sera libre sur ses appuis, si elle repose sur chacun d'eux par l'intermédiaire d'un appui libre. Alors au-dessus de chacun de ces appuis, la fibre neutre peut prendre telle direction qu'elle veut (fig. III) et même elle peut glisser.

Nous avons vu (n° 169-e) que ce système de liaison était insuffisant, excepté si les normales aux surfaces d'appui étaient parallèles entre elles et aussi à la résultante des

actions extérieures. C'est précisément ce qui arrive ici puisque les forces d'action étant toutes verticales auront une résultante verticale, c'est-à-dire perpendiculaire aux plans

Fig. 135

d'appui sur lesquels la poutre repose. Ainsi les réactions d'appui se composeront (fig. I et III) de deux forces verticales aA et a' A' que la statique pure pourra déterminer. Le frottement sur les appuis rendra cet équilibre stable.

2e Cas. — La poutre peut ètrelibre à une extrémité et encastrée à l'autre (fig. IV).

3e Cas. — La poutre peut être encastrée à ses deux extrémités (fig. V). — Dans chacun de ces derniers cas les liaisons sont surabondantes et les réactions des appuis ne pour-

MOMENTS FLÉCHISSANTS ET EFFORTS TRANCHANTS DANS l Ni: POUTRE

ront être déterminées qu'on tenant compte des déformations élastiques; néanmoins sur chaque appui simple la réaction ne se composera que d'une force verticale b'B' (fig. IV), tandis que sur chaque encastrement elle se composera d'une force verticale /d3 (fig. IV) et d'un couple m.

17:2. Conventions sur les signes. — (a) Hypothèse du tronçon enlevé. — Nous avons vu (v. n° 113) que, pour étudier en un point l'équilibre moléculaire d'un prisme élastique, on fait dans ce prisme une section transversale fictive, au centre de gravité de laquelle on transporte toutes les forces situées d'un même côté de cette section. Ce transport donne naissance à une résultante ou effort tranchant et à un couple résultant de droite ou moment fléchissant, lesquels doivent, séparément, être équilibrés par une résultante et par un couple résultant de gauche.

Ce transport des forces au centre de gravité de la section transversale considérée permet de supposer enlevé le tronçon de prisme situé du même côté que les forces qui ont donné lieu à la résultante de translation obtenue ; c'est ce qu'on nomme Y hypothèse du tronçon enlevé. Eh bien, comme première convention, nous supposerons que c'est le tronçon de gauche qui est enlevé.

11 n'y a rien là que de très naturel et de conforme aux usages de la géométrie analytique. En effet, la fibre neutre est prise pour axe des a?; on parcourt donc cet axe fictivement en allant de la gauche à la droite et par suite c'est le tronçon de gauche qui est rencontré le premier et avec lui toutes les forces qui le chargent. Mais, ainsi que nous l'avons vu, la résultante de translation de droite et celle de gauche doivent s'équilibrer et, par suite, doivent être égales et de signe contraire, et il en est de même des couples résultants de droite et de gauche. Le choix du tronçon enlevé influerait donc sur le signe des résultats. Autrement dit : si pour des raisons de simplification nous préférions enlever le tronçon de droite plutôt que celui de gauche nous trouverions des signes différents, ce qui pourraitlaisser croire que les fibres moléculaires travaillent dans un autre sens, et qui est absurde a priori. C'est pourquoi, afin de ne pas amener de confusion dans nos calculs, il est nécessaire de faire, au sujet des signes des efforts tranchants et des moments fléchissants, des conventions qui soientindépendantes du choixdu tronçon enlevé, car, en définitive, c'est ce qui se passe dans les molécules qui nous intéresse et non pas ce qui se produit à l'extérieur.

Nous allons faire voir que ces conventions sur les signes sent une conséquence des conventions ordinaires delà géométrie analytique et de la mécanique.

(6) Signes des coordonnées. — OX, dirigée de gauche à droite, sera la direction des abscisses positives. OY, dirigée de bas en haut, sera la direction des ordonnées positives.

Les directions contraires OX' et OY' seront négatives.

(c) Signes des forces extérieures. — Ces forces sont toujours verticales ; elles seront donc positives quand elles seront dirigées dans le sens des y positifs, c'est-à-dire de bas en haut.

Ainsi un poids i aura le signe négatif. Une réaction d'appui ^ aura, en général, le signe positif.

(d) Signes des efforts tranchants. — D'après la convention faite, prenons (fig. 137) sur le tronçon de gauche une force positive f. Transportons-la en f au plateau de gauche, A, du bi-plateau AB.

Nous donnons naissance à un effort tranchant. Quel doit être son signe ? Evidemment celui de la force f. Donc :

Tout effort trancha)) t appliqué à un bi-plateau est positif quand il tend à soulever le plateau de gauche par rapport "

Effort tranchant nositiF

Effort tranchant négatif

Fig. 136

celui de droite (fig. 136-1). 77 est négatif dans le cas contraire (fig. 136-11).

(e) Signes des moments fléchissants. — Cette force f, transportée en A, donne naissance à un couple dont la force est f (positive) et dont le bras de levier est CA =

onwm

Fig. 137

parcouru de C vers A, c'est-à-dire positivement. Par conséquent, le produit de /par d est positif; il serait négatif dans le cas contraire. Donc :

Tout moment fléchissant appliqué à un bi-plateau est positif quand il tend à comprimer les fibres du haut et à tirer celles du bas (fig. 137) ; il est négatif dans le cas contraire (v. fig. du tableau du n° 146, p. 70).

Nota. — Dans le premier cas (moment positif), l'infléchis-

ACTIONS ET RÉACTIONS DÉVELOPPÉES SUR UNE POUTRE

sèment produit dans le bi-plateau tend à faire se rencontrer les deux plateaux en I du côté des y positifs; dans le cas contraire (moment négatif), la rencontre se ferait en J du côté négatif. C'est pourquoi on énonce quelquefois la convention en disant :

« Un moment fléchissant a le même signe que celui de la « courbure qu'il tend à faire prendre à la poutre. «

(f) Signes des efforts fibraires. — La convention à faire doit être une double conséquence de celle sur les moments fléchissants et de celle sur les ordonnées. En effet, prenons dans le bi-plateau AB une fibre a située au-dessus de l'axe neutre (fig. 137) ; son y est positif. De plus, d'après la convention^), elle est comprimée puisque le moment fléchissant est positif. 11 faut donc que son effort fibraire p soit positif, autrement le moment élémentaire que produit sa réaction moléculaire, et qui a pour expression algébrique le produit py, serait négatif.

. Il en est de même pour une fibre b située au-dessous et répondant à un xj négatif. Cette fibre est tirée ; si p' est son effort fibraire, il faut, pour que le produit p'y' soit positif, que p', qui est une traction, soit négatif. Donc :

Toute compression est positive ;

Toute traction est négative.

Telles sont les conventions sur les signes : il est très important de ne pas se tromper à leur sujet. Le lecteur qui voudra plus tard faire des applications n'éprouvera que trop souvent des embarras relativement aux signes ; c'est pourquoi nous l'engageons vivement à bien se familiariser, dès maintenant, avec ces conventions.

173. Théorème de l'effort tranchant. — Il existe une relation (algébrique ou géométrique) très simple entre l'efforttranchant en un point d'une poutre et le moment fléchissant en ce même point. Nous l'avons déjà démontrée par la statique graphique aux n0s 40 et 40 bis. Etant donné son importance nous allons l'énoncer à nouveau et en donner une démonstration directe qui fera bien comprendre le pourquoi de cette relation.

Théorème. — En chaque point d'une poutre soumise à des efforts perpendiculaires à sa fibre neutre, l'effort tranchant est donné, en grandeur et en signe, par la pente de la représentative des moments fléchissants (1).

Soit (fig. 138) O'X la fibre neutre de la poutre, A une section quelconque, et f une force positive, appliquée en 0, à gauche, à une distance x de A.

Si on transporte f au point A, on déterminera un effort tranchant égal à f et on donnera naissance à un couple positif dont le moment m est :

m = fx.

(1) Aualyliquement le théorème s'énonce : « L'effort tranchant est la dérivée, prise par rapport à l'abscisse, du moment fléchissant. •>

Si nous prenons une ordonnée Aa égale à ce moment fx, la représentative de ce moment sera la droite Oa.

Fig. 138

La pente p de cette droite est égale à Aa : AO, c'est-àdire

Le théorème est donc démontré lorsque la poutre n'est soumise qu'à la seule force f.

Prenons-en une seconde f, appliquée en 0' à une distance x'. Elle produit un effort tranchant égal à f et un moment fléchissant m! qui a pour expression

m' = fx'.

Prenons de même Aa' = fx'; la représentative des moments dus à la force f est la droite O'a' et la pente p' de cette droite est

La représentative totale des moments fléchissants dus aux deux forces f et f s'obtiendra en additionnant (v. C Géom. analytique) les deux droites oa et o'a1, ce qui donnera la ligne brisée O'CD, obtenue en prenant a'D = Aa.

Nous savons que, au-dessus de la section A, la pente p" de la droite CD est égale à la somme des pentes des deux droites Oa et O'a'. On aura donc

Le théorème est donc démontré pour deux forces. Il serait vrai pour un nombre quelconque de forces finies et vrai aussi pour des forces infiniment petites, mais en nombre infiniment grand, c'est-à-dire pour une charge continue.

Dans ce dernier cas, le polygone représentatif des moments fléchissants, dont O'CD n'est qu'un fragment, devient une courbe représentative ; la ligne CD devient la tangente à cette courbe, et la pente de cette tangente est toujours égale à l'effort tranchant. C. Q. F. D.

Nota. — Nous avons supposé ici que les ordonnées Aa, Aa' étaient numériquement égales aux produits fx et fx', c'està-dire aux moments. Nous avons vu, dans la Statique graphique, que les moments sont proportionnels aux ordonnées d'un funiculaire construit avec une certaine distance polaire d. Cette distance est alors le coefficient d'échelle (v. n°s 40 et 40 bis), et, dans ce cas, il faut multiplier par d la pente vraie de ce funiculaire pour avoir l'effort tranchant.