REPRÉSENTATIVES POUR POETRES ENCASTRÉES

§ 4. — REPRÉSENTATIVES DES MOMENTS FLÉCHISSANTS ET DES EFFORTS TRANCHANTS POUR POUTRES ENCASTRÉES

17i. Poutre non chargée, encastrée sur un seul de ses appuis. — Nous avons déjà étudié (v. Statique graphique, nos 39 à 51) la manière d'obtenir, par des funiculaires, les représentatives des moments lléchissants et des efforts tranchants dans une poutre posée sur deux appuis libres et soumise à des efforts perpendiculaires à sa libre neutre. Nous allons étudier de quelle manière des encastrements sur les appuis modifient ces représentatives.

Imaginons (fig. 139-1) une poutre qui reposerait en A et 1$ sur deux appuis libres à surfaces horizontales. Nous la supposerons non pesante et non chargée ; par conséquent les appuis ne développeront aucune réaction, ni force ni couple. Remplaçons l'appui 15 par un encastrement B' qui forcera (lig. Il) la ûbre neutre à prendre une certaine pente a, sur sa direction première. Dans ces conditions, il se développera au-dessus de l'appui B' un couple et une réaction. Nous ne savons pas encore calculer ce couple en fonction de la pente d'encastrement at, mais il n'en est pas moins vrai qu'il existe.

Supposons-le connu ; soit M, sa valeur, que nous supposerons positive. M, est précisément le moment d'encastrement de l'appui ; la boîte d'encastrement produit ce couple comme l'indique, plus haut, la fig. 129. Nous nous proposons :

1° De calculer, en fonction de M,, les valeurs des réactions X0 et N, développées sur les deux appuis A' et B', par l'adjonction de ce moment ;

2° De trouver l'expression du moment fléchissant pour un point quelconque C situé à la distance x de l'origine ;

3° D'en déduire la représentative des moments fléchissants.

Raisonnons comme au n° 1 70.

Soit / la portée de la poutre.

D'abord il est évident que pour équilibrer le couple d'encastrement M4 il faut que les appuis développent deux forces susceptibles de former un couple, c'est-à-dire qui soient égales, parallèles et de sens contraire. Ces forces X0 et X, seront précisément les réactions des appuis, et l'on devra avoir, pour déterminer leur valeur absolue, l'équation (1) qui exprime que la somme des moments est nulle.

(I) XV+M^O, d'où

X et X =+B.

Quant au sens de la réaction X, de l'appui sur lequel existe l'encastrement on voit que cette réaction doit être de signe contraire à celui du moment M,, et la réaction X0 sur l'autre appui doit être de même signe que Mt.

Considérons maintenant le point C (fig. II) situé à la distance x de l'origine. Si l'on enlève le tronçon de gauche la seule force existante qu'il faille considérer comme agissant

Fig. 139

sur lui, c'est la réaction X0. Kn la transportant en C elle donne :

1° Un effort tranchant T, qui est constant et qui a pour expression

d'où

2° Pour moment fléchissant M = X0x,

La représentative des moments sera donc une droite telle

que ac' (ûg. III); on remarquera quesapente est -y-1 > c'est-àdire précisément l'effort tranchant, ce qui vérifie le théorème de l'effort tranchant.

En faisant dans l'équation (3) x — l, on a : M = M,.

En résumé : « si l'on exerce un moment d'encastrement « au-dessus d'un appui, d'une poutre non chargée et si « (fig. III) on le représente (en bMt) par son ordonnée propor- « tionnelle :

ACTIONS ET RÉACTIONS DÉVELOPPÉES SUR UNE POUTRE

« 1° La représentative des moments fléchissants aux divers « points de la poutre est la droite (oM,), qui joint l'autre « appui à l'extrémité de cette ordonnée.

« 2° L'effort tranchant est constant et il est donné en « grandeur et en signe parla pente de cette droite réprésen- « tative des moments.

« 3° Sur l'appui de gauche la réaction est égale à cet effort « tranchant et de même signe.

« 4° Sur l'appui de droite la réaction est égale à cet effort « tranchant et de signe contraire. »

Nota. — Le signe est le même sur l'appui de gauche et contraire sur celui de droite parce que les ahscissessont comptées positivement de la gauche vers la droite. Si c'était le contraire les signes seraient renversés.

175. Poutre, non chargée, encastrée sur chacun de ses deux appuis. — Exerçons sur l'appui A un moment d'encastrement M0 et représentons-le (flg. 139-111) par son ordonnée figurative «M0. On démontrera de même que, s'il existait seul, la représentative des moments serait la droite M06. Si les deux moments d'encastrement, M0 et M4, existent ensemble, pour avoir la représentative finale des moments en chaque point il faudra additionner les deux droites «M, et M0ô ce qui donnera la droite M0Mj. Les pentes s'ajouteront aussi et finalement nous pourrons dire :

« Si l'on exerce un moment d'encastrement au dessus de « chacun des deux appuis d'une poutre non chargée et si « l'on représente chacun de ces moments (M0 et MJ par une « ordonnée proportionnelle :

« 1° La représentative des moments fléchissants aux divers « points de la poutre est la droite (M^L) qui joint les extré- « mités de ces ordonnées.

« 2° L'effort tranchant T est constant et il est donné en « grandeur et en signe par la pente de cette droite repré- « sentative des moments

« 3° Sur l'appui de gauche la réaction est égale à cet effort « tranchant et de même signe.

« 4° Sur l'appui de droite la réaction est égale à cet effort « tranchant et de signe contraire. »

Nota. — Si les moments M0 et M, sont égaux et de même signe (fig. 13(.)-IV) la représentative des moments est une droite M0M4 parallèle à l'axe des x. Sa pente est nulle ; par conséquent les efforts tranchants sont nuls ainsi que les réactions des appuis.

176. Poutre chargée normalement et encastrée sur chacun de ses deux appuis. — (a) Funiculaire des moments de charge. — Cherchons d'abord, et à part, le funiculaire représentatif des moments dus aux charges, comme si la

poutre reposait librement sur ses appuis ; soit ABC GD

ce funiculaire. Dans ces conditions les moments sur les appuis seraient nuls (fig. 140).

Afin d'abréger les explications nous n'indiquons pas comment ce funiculaire a été obtenu ; voir à ce sujet la Statique graphique, ch. III et, plus loin, l'application du n° 179.

Faisons maintenant intervenir sur les appuis les deux moments d'encastrement M0 et Mt.

S'ils agissaient seuls, la représentative des moments aux différents points de la poutre serait la droite M0Mj. Nous supposerons ici que les moments M0 et M, sont négatifs; par suite toutes les ordonnées de la droite M0M, seront aussi négatives.

(b) Funiculaire définitif. — Les moments fléchissants définitifs seront alors représentés par les différences entre les ordonnées du funiculaire des charges ABCEFGD et celles de la droite M0M,. Ces différences sont des sommes algébriques.

Pous obtenir ces sommes algébriques nous pourrons employer l'un des deux moyens suivants :

Fig. 140

1er Moyen. — Descendre le funiculaire supérieur de telle sorte que son extrémité A vienne en M0 et son extrémité D