OC

Fig. 142

ou moments fléchissants, laquelle sera généralement obtenue

luis DE LA DEF1GURAT10N

par un funiculaire ainsi que nous l'avons montré plus haut. Divisons les ordonnées de cette représentative par le facteur EU répondant à chaque section. Appelons moments

BÏfiés (') les quotients^- ainsi obtenus, et, enfin, dessinons El

en dessous (fig. 142-11) en k'a'b'B' la représentative de ces moments eïfiés (2). Interprétons maintenantles deux formules (a) et (b) :

(a) 0 = ËT[A*';

0 sera l'aire d'un trapèze infiniment mince, de largeur A,r', située immédiatement à droite du point A'; quant à la formule (b)

(b) ty = — (x—at)toc',

Ay sera le moment statique de l'aire de ce trapèze 0 par rapport au point B'.

Cela posé : les infléchissements pris par tous les bi-plateaux compris entre l'origine 0 et le point B, lequel est situé à la dislance x de l'origine, produiront sur le point B, chacun pour leur compte, un accroissement de pente et un accroissement d'ordonnée qui se totaliseront, ainsi que nous allons l'indiquer, pour donner à l'élastique une pente totale a et une ordonnée totale y.

(c) Effet d'une pente initiale v — Tout d'abord il arrivera que, soit parce que l'on encastrera la poutre à son origine 0 sous un angle donné a0, soit parce qu'elle sera laissée libre de prendre sur ses appuis tel angle qu'elle voudra, la fibre moyenne, à son origine, subira une déviation angulaire initiale a0. L'angle a0 étant toujours très petit, nous le confondrons avec sa tangente trigonométrique, de telle sorte que an et, plus généralement, toutes les expressions analogues, a, 7...... représenteront des pentes.

En donnant cette pente initiale a0 à la poutre, on entraînera avec elle tout le solide et l'on imprimera, tout d'abord, cette même pente à tous les éléments de la fibre moyenne ; par conséquent, la pente totale a, prise au point B par l'élastique, sera égale à la pente initiale a0 augmentée de toutes les pentes élémentaires dues aux infléchissements successifs de tous les bi-plateaux; ces pentes sont données, chacune, par la formule (a) et sont mesurées chacune par les aires élémentaires de la courbe des moments eïfiés (fig. 142-11).

D'autre part, la pente initiale a0, imprimée à toute la

(1) Nous proposons ici de créer un mot barbare, il est vrai, mais qui aura pour nous un sens bien net ; nous l'avons préféré au mot amplifié adopté par un savant éminent, ce mot « amplifié •> ayant, suivant nous, un caractère trop général.

(2) Les ordonnées du funiculaire eifié ne sont pas une réduction proportionnelle de celles du funiculaire primitif, car le facteur El change en chaque poiut. Mais si la poutre était homogène (E constant) et de section uniforme (I constant), alors il n'en serait plus ainsi, et la courbe eifiée II serait une réduction ou une amplification proportionnelle de la courbe primitive I.

poutre, fera monter le point H (si est positif) ou le fera descendre (si a0 est négatif) d'une quantité algébriquement égaleà *0x; à cette quantité s'ajouteront tous les accroissements élémentaires d'ordonnée dus aux infléchissements des l>i-plateaux, de telle sorte que, en définitive, l'ordonnée y de l'élastique au point B sera égale à a0x augmenté du moment statique, par rapport au point B, de toute l'aire des moments eïfiés comprise entre l'ordonnée de l'origine et l'ordonnée de ce point B.

(d) Formules fondamentales sous forme symbolique. —

Nous pouvons maintenant écrire les formules fondamentales sous une forme symbolique sur laquelle nous allons d'abord nous entendre.

Convenons, d'une manière générale, de représenter l'aire de la courbe des moments eïfiés (fig. 142-11) par la lettre V, lorsque nous la prendrons dans sa totalité, c'est-à-dire entre l'origine 0 et l'extrémité 0, de la travée. Lorsque nous la segmenterons, c'est-à-dire lorsque nous la prendrons entre deux points A et B ou 0 et B, nous ajouterons à la lettre V les indices A et B, ou 0 et B, de telle sorte que V* ou V° voudra dire : aire du segment de la courbe des moments eïfiés compris entre les ordonnées des points A et B, ou celles des points 0 et B.

Cela posé : G' étant le centre de gravité de ce segment (môme fig. 142-11) et 7' l'abscisse de ce centre de gravité, je dis que nous aurons les formules fondamentales suivantes qui, sous une forme symbolique, ne sont que l'interprétation algébrique de ce qui vient d'être dit relativement à la pente a et à l'ordonnée y de l'élastique.

(A) * = ao + Vo (formule des pentes),

(B) y = «0* + ^ TfO (formule des ordonnées).

En effet, sur une nouvelle figure (fig. 143) représentons en I la courbe des moments eïfiés, et en II l'élastique ONO', :

1° La formule (A) signifie que la pente a, de l'élastique au point B est égaleà la pente initiale a0, augmentée de toutes les pentes ou infléchissements élémentaires produits entre l'origine 0 et le point B, puisque chacune de ces pentes élémentaires 0 étant mesurée par l'aire élémentaire correspondante de la courbe V, la pente totale sera mesurée par l'aire de cette courbe comprise entre l'ordonnée du point 0 et celle du point B, c'est-à-dire par V®. La formule A est donc justifiée.

2° La formule (B) signifie (fig. 143-11) que l'ordonnée Bb = y se compose :

1° De l'abaissement %ax produit parla pente initiale (c'est le premier terme du second membre de la formule B) ; 2° de la somme des ordonnées élémentaires Ay ou, ce qui revient

STAB. 13

au même, des quantités qui leur sont égales, à savoir les moments des aires élémentaires par rapport au point B. Or, la somme des moments élémentaires d'une aire plane,

Moments ei'Rés

Fig. 143

par rapport à un point B, est égale au moment de l'aire entière Vq supposée concentrée en son centre de gravité, c'està-dire placée à la distance x — y' du point B; ce moment tolal est donc (x — •;'). C'est le second terme du second membre de la formule B; cette formule est donc, elle aussi, justifiée.

(e) Ordonnée finale h et pente finale a,. — Appliquons ces formules à l'extrémité 0, de la poutre. Pour plus de généralité, nous admettrons une dénivellation ou ordonnée finale h ; c'est-à-dire que nous supposerons que l'appui d'extrémité 04 a été déplacé d'une hauteur h, positive (en montant) ou négative (en descendant). La première formule (A) nous donnera la pente finale a, et la seconde nous donnera l'ordonnée finale h.

Si les deux appuis sont de niveau, nous aurons h — 0.

Dans ce cas on fera dans les deux formules (A) et (B), a = otj, x — l, y — 0.

Dans le cas où il y aurait une dévinellation h, on fera a = at, x = /, y = h.

Dès lors en désignant par V l'aire totale de la courbe des moments eïfiés, par 7 l'abscisse de son centre de gravité G ; les formules donnent les équations :

1er Cas. — Si les appuis sont de niveau,

I Appuis ^ de niveau.

2e Cas. — S'il y a une dénivellation //, (A") ai = ao+V i Appuis

(B") h = ao/+V(/ — Y) ) dénivelés.

Toutes ces formules (A), (B),— (A'), (B') — (A") (B") ont une signification mécanique importante, sur laquelle nous allons insister.

178. Interprétation mécanique des formules fondamentales. — (a) Théorème des pentes sur les appuis. — Assimilons l'aire des moments eïfiés (fig. 143-1) à une charge fictive qui agirait sur la poutre, comme pourrait faire une couche de sable dont la hauteur, en chaque point, serait mesurée par l'ordonnée de cette aire. On se souvient que nous avons désigné symboliquement cette aire totale par la lettre V. Cette charge fictive donnerait lieu de la part des appuis 0 et 0, à des réactions que nous conviendrons de représenter par

v0 [réaction de l'appui 0)

et

vi (réaction de l'appui 0(.) (') Calculons ces réactions; il suffira pour cela d'écrire qu'il y a équilibre entre les forces v0, u, et la force V supposée appliquée au centre de gravité G de l'aire totale des moments eïfiés ; en égalant à zéro la somme des moments de ces forces par rapport à l'appui d'extrémité 0,, nous aurons l'équation

(1) Wo/ + V(/-V) = o.

En la comparant à l'équation (B') du n° 177 (e), nous en tirons, pour le cas où la dénivellation est nulle, (!') v0 = V

En la comparant à l'équation B", nous avons pour le cas où il y a une dénivellation h,

Ecrivons l'équation des moments par rapport à l'appui d'origine 0; nous aurons l'équation

(2) Vll + Y^=.o.

Dans les équations B' et B" remplaçons *0 par sa valeur tirée de A' ou de A"; elles deviennent (B') 0 = a, / — \'y et

(B") h = *J— VT.

En leur comparant l'équation (2), nous en concluons, si les appuis sont de niveau,

(2') »,'=-«, ou bien, s'ils ne sont pas de niveau.

Or a0 et «j, si les appuis sont de niveau, aussi bien que

(1) Sur la fig. 143-1, les moments sonl supposés positifs et par conséquent la charge fictive que représente la courbe V, appliquée en G, est positive, c'est-'a-dire dirigée de bas en haut : les réactions i>„ et u, des appuis, dont il est question plus loin, seront donc négatives.

LOIS DK LA

jf"o — 7) ou (^ai — 7^> s''' y a dénivellation, ce sont les

pentes initiale et finale de l'élastique, par rapport à la ligne d'appui 00, dans le cas des appuis de niveau, et 00', s'il y a dénivellation.

Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant , très important :

Théorème I, ou théorème des pentes sur les appuis. —

La pente de l'élastique au-dessus d un appui est égale à la réaction,surcei appui, de l'aire totale des moments ci fiés. A l'origine, la pente et la réaction sont de même signe : à l'extrémité, elles sont de signe contraire.

(b) L'élastique obtenue par un funiculaire. — Reprenons maintenant l'équation fondamentale (B) mais en y remplaçant la pente a0 par son égale la réaction v0, s'il n'y a pas

de dénivellation, ou par v0 — - s'il y a une dénivellation,

elle s'écrit :

1" Dans le cas des appuis de niveau

y= v0x-±-Vno(x — •{'), et

2° Dans le cas d'une dénivellation

y-r-jX = v0x + Vao(x — y')-

Dans le premier cas (fig. 143-11), le premier membre donne y ; dans le second cas, il donne y-\-j X, c'est-àdire, dans les deux cas, l'ordonnée bb' de l'élastique par rapport à la ligne d'appui OO'j.

Quant au second membre, c'est le moment fléchissant (fig. 143-1), par rapport à la section quelconque B, de toutes les forces fictives situées à gauche de cette section, forces comprenant aussi bien le poids fictif de l'aire des moments eï/iés comprise entre l'origine et le point B, que la réaction v0 de l'appui d'origine. Nous nous retrouvons donc absolument dans les conditions déjà étudiées dans la statique graphique (v. n° 35), d'une poutre soumise à une charge continue mais variable en chaque point ; et, de même qu'un funiculaire construit pour des charges réelles nous permettait de connaître la représentative des moments fléchissants, de même un funiculaire construit sur ces charges fictives, représentées par l'aire des moments eïfiés, nous donnera l'élastique.

On voit donc, en résumé, que la statique graphique permet de résoudre complètement le problème de la poutre droite. Les épures à effectuer sont très simples; la seule difficulté consiste, suivant nous, à savoir se retrouver dans les échelles; sur ce point nous donnerons, à l'occasion, les conseils nécessaires. Résumons la marche à suivre pour tracer Vélastique.

(e) Résumé. — 1° On construira le funiculaire des moments

DITTGl 'RATIo.N

fléchissants en prenant une distance polaire quelconque, d ; mais comme on aura souvent intérêt à tracer ce funiculaire par la méthode de M. Collignon (v. n° 42), celle-ci introduira tout naturellement la distance polaire : d = 1 /2 /.

2° Chacune des ordonnées de ce funiculaire sera divisée parle produit El qui correspond à la section de la poutre, ce qui permettra de construire le funiculaire des M : El, nommé funiculaire eifié.

3° (a) On décomposera (de préférence à l'aide de lignes verticales) le funiculaire eïfié en aires élémentaires partielles.

(b) On choisira pour toutes ces aires une hase commune d' , de rectangles d'équivalence, et on calculera pour chacune d'elles la hauteur h du rectangle équivalent.

(c) Considérant chaque fois /* comme une force fictive, on appliquera cette force au centre de gravité de l'aire partielle.

4° On construira enfin, sur les forces telles que h, considérées comme des poids fictifs qui chargeraient la poutre, un funiculaire qui donnera ce que nous nommerons : VElastique-épure. Ce funiculaire aura été construit à l'aide d'une distance polaire d" qui pourrait être quelconque ; mais, si l'on emploie le tracé de M. Collignon, on aura encore d" = i/2 l.

5° En multipliant les ordonnées de V E laslique-épure par le produit k = dXd'Xd" des coefficients d'échelle des trois épures successives que l'on vient de faire, on aura les ordonnées de la véritable élastique que nous nommerons Y Elastique-espace. Si, comme nous le recommandons, l'on a pris d = d' — d' = 1/2 /, alors on aura pour le coefficient final d'échelle :

(d) Cas d'une poutre homogène et de section constante.

— Si la poutre est homogène (E constant), et à section uniforme (1 constant), on pourra se dispenser de construire le funiculaire des M : El. On opérera directement, pour la division en aires partielles, sur le funiculaire des moments naturels, c'est-à-dire non eïfiés; seulement, le facteur El devra être introduit en dénominateur du coefficient final d'échelle et l'on aura pour ce coefficient final /.' :

dd'd"

et si: d = d' = d"=l/Zl,

llSbis. Résistancede la poutre. — Pour que la pièce soit dans de bonnes conditions de résistance, il faut que, dans chaque section, la fibre fatiguée soit soumise à un effort unitaire inférieur à la résistance de sécurité R (v. n° 136). Si dans une section on atteint précisément cette résistance de

DÈF1GURAT10N ET RÉSISTANCE D'UNE POUTRE

sécurité on est, pour cette section, dans une bonne condition économique.

Si pour toutes les sections la fibre fatiguée supporte la résistance de sécurité, on est alors, pour l'ensemble de la pièce, dans la meilleure de toutes les conditions économiques et la poutre est dite d'égale résistance. Nous consacrerons un chapitre aux poutres d'égale résistance.

Pour vérifier la résistance d'une section on emploie la formule d'équarrissage (v. n° 144).

v rV

- est le moment de résistance du profil de la poutre.

R est la résistance de sécurité : 6 k, 7k et 8k pour le fer,

10\ llk et 12k pour l'acier, 0k,6 pour le bois (par mm*).

M est le moment fléchissant. Il est connu en chaque point si la représentative des moments a pu être tracée. Nous avons vu qu'elle le sera, avec le seul secours de la statique pure, si les liaisons sont strictes (v. n° 169). Si elles sont surabondantes alors il faudra faire intervenir les déformations de la pièce pour déterminer les réactions des appuis et pour en déduire le tracé définitif du funiculaire des moments fléchissants.

Nous montreront plus tard (§ 7), en commençant d'abord par des exemples simples, comment se fera cette détermination des réactions, pour les liaisons surabondantes, (juant aux calculs de résistance nous les ferons, dans chaque cas, en prenant surtout des exemples numériques.

| 6. — Applications aux poutres non encastrées

179. Poutre uniformément chargée, et supportant, en outre, des charges isolées. — (a) Données numériques du problème. — Une poutre de 9m de portée repose librement sur deux appuis ; elle est chargée d'un poids total de 1260k uniformément réparti et, en plus, de quatre charges isolées de 250k, 200\ 235k et 170k dont les positions sont indiquées sur la fig. 144 (I).

On demande : 1° de déterminer son équarrissage dans l'hypothèse où elle serait (1er cas) en fer, ou (2e cas) en bois ;

2° De tracer sa courbe élastique et de déterminer les flèches dans les deux hypothèses indiquées ci-dessus.

Nota. — L'exemple que nous choisissons ici a un caractère tout à fait général ; nous ne le quitterons plus pendant tout ce chapitre ; c'est sur lui que nous montrerons, plus loin, l'effet des encastrements. Nous engageons le lecteur à suivre nos explications en refaisant nos épures, mais avec d'autres échelles. Une fois ce problème bien compris, ceux qui viendront ensuite paraîtront très faciles.

(b) Echelles des longueurs et des forces. — Nous adopterons pour échelles des longueurs 0m,02 par mètre ; pour celle des forces, nous prendrons 0m,015 pour 100k ; ces échelles sont indépendantes l'une de l'autre, nous sommes libres de les choisir comme bon nous semble. Nous avons commencé par les dessiner dans le bas de la feuille.

(c) Echelle des moments. — Nous pouvons aussi convenir, dès maintenant, de construire les funiculaires des moments par la méthode de M. Gollignon, dans laquelle on prend toujours pour distance polaire la demi-portée

rf = l/2 l,

ce qui, dans le cas actuel, revient à faire

D'une manière générale, connaissant, d'une part, l'échelle

des forces et, d'autre part, la distance polaire d, on en déduit l'échelle des moments en opérant de la manière suivante :

Remarquons d'abord que ce sera presque toujours 1000 kilogramomètres, (1000km) qu'il importera de savoir représenter. Dès lors, on cherchera la longueur S qui représente 1000 kilos (ici on aura 3 = 0,u,15), et l'on dira :

Si la distance polaire était lm cette longueur 3 représenterait aussi 1000km ; mais puisque la distance polaire est d (ici d = 4,50) cette longueur 3 représente d fois plus de km ; autrement dit 3 représente d X 1000km et par conséquent, 1000km seront représentés par le quotient de 3 : par d ; d'où la règle suivante pour l'échelle des moments.

Règle. — « La longueur qui représente 1000km, s'obtient « en divisant par la distance polaire la longueur qui repré- « sente 1000k à l'échelle des forces. »

Dans le cas actuel 3 = 0,15, d — A,50 et par suite le quotient 3 : d est

Telle est l'échelle de 1000km.

Les trois échelles des longueurs, des forces et des moments sont représentées au bas de la fig. 144. On y voit également les échelles des flèches relatives à la poutre en fer ainsi qu'à la poutre en bois ; mais, comme celles-ci dépendent du facteur I, moment d'inertie de la section transversale, et que nous ne le connaissons pas encore, nous laissons pour plus tard le tracé de ces échelles.

Traçons maintenant les funiculaires des moments fléchissants.

(d) Funiculaire des moments fléchissants dus aux charges isolées. — Nous avons représenté en I (fig. 144) la portée par AB = 9m mesurés à l'échelle des longueurs et

APPLICATIONS Al \ POlTIlKS NON KM '.ASTI; 1 .1 S

Fig. 144

les poinls d'application des charges isolées par CDEF, la distance d'un de ces points au précédent ou à l'origine étant successivement à partir du point A, lm,50, lm,80, 3m,07 et lm,73. Quant aux charges isolées, nous les avons figurées par cG = 250\ dD = 200k, eE = 235\ fF = 170\ les longueurs de ces droites étant mesurées à l'échelle des forces. Nous tracerons le funiculaire par la méthode Collignon (v. n° 42) ; à cet effet :

Projetons sur la verticale d'origine la force cG en kcv puis joignons c,0 ; l'intersection de cette droite avec cC donnera en c'j l'extrémité du segment cc\ intercepté sur la verticale d'origine par les prolongements des deux premiers côtés du funiculaire des charges isolées ; nous avons marqué ce segment par un gros trait.

Opérons de môme avec les autres forces, en projetant vers l'origine celles qui sont à gauche du milieu 0 et vers l'extrémité celles qui sont à droite ; nous obtiendrons ainsi : 1° en cc\ et dd! \ les segments d'origine ; 2° en ee\ et ff\ les , segments d'extrémité.

Dès lors le tracé de ce funiculaire est facile : sur la verticale d'origine de la poutre portons bout à bout en AV, c'd1 (fi g. II) les segments cc\, dd[, que nous venons d'obtenir ; portons de même sur la verticale d'extrémité en B'/", f'e' les segments ee\ ff[ ; puis joignons d'e ; nous obtenons en d, c, le côté moyen (ici le 3e) du funiculaire des charges isolées ; en joignant dl e', nous obtenons en d{ cl le côté n° 2 du funiculaire ; enfin le côté n° 1 est Ac,. Le côté n° 4, e, /",, et le n° 5, fi B', s'obtiennent de la même manière.

Le funiculaire des charges isolées est donc obtenu. Pour avoir la valeur des réactions des appuis, dues à ces charges, il suffit de prolonger jusqu'à la verticale milieu les côtés extrêmes A!cl et B'/j du funiculaire (v. n° 45) ; la réaction d'origine sera mesurée par OH, celle d'extrémité, par OK ; en mesurant ces droites à l'échelle des forces nous trouvons

OH = 422", OK = 433k.

(e) Funiculaire des moments fléchissants dus à la charge uniformément répartie. — Nous avons vu (n°. 51) que dans le cas d'une charge uniformément répartie, la représentative des moments fléchissants est une parabole passant par les appuis et dont le sommet est à une hauteur égale à 1/iP, P désignant la cbarge totale; ceci suppose, bien entendu, que la distance polaire est 1/2 /.

Ici nous avons : P = I260k et 1/4 P = 3I5k.

Le sommet N de notre représentative des moments dus à la charge répartie sera donc à une hauteur ON égale à la longueur qui, à l'échelle des forces, représenterait 315k. On voit en A'NB' (fig. II) cette parabole.

La réaction de chaque appui, dans ce cas, sera la moitié de la charge totale, soit 630k, et elle est indiquée par la hauteur O'T au-dessus de la droite des appuis, de l'inter-

section T de la tangente à la parabole au point A avec la verticale milieu.

(/) Moments totaux. — En chaque point de la poutre le moment fléchissant total sera égal à la somme des moments dus : 1° aux charges isolées ; 2° à la charge uniformément répartie. La représentative de ce moment fléchissant sera donc, en chaque point, figurée par une ordonnée égale à la somme des ordonnées correspondantes des deux funiculaires que nous venons de tracer.

C'est ce que l'on appelle (v. C) faire une addition analytique.

Bref, le funiculaire total s'obtiendra en additionnant analytiquement le polygone A'cldlelflB', avec la parabole A'NB' ; et nous obtiendrons, pour représentative définitive des moments fléchissants, la ligne A'C^EjFjB', laquelle est formée d'une série d'arcs de paraboles.

180. Calcul de la section à donner à la poutre. — (a) Moment maximum ; section dangereuse. — Si l'on mène au funiculaire définitif une tangente parallèle à la droite des appuis, on obtient par la hauteur du point de tangence la valeur du moment fléchissant maximum. Dans la fig. II le point de tangence est M ; sa hauteur au-dessus de la droite AB est, à l'échelle des forces, mesurée par 517k. La valeur du moment fléchissant en ce point sera donc 517k X (distance polaire) = 5l7kX 4,50 = 2320ku\

Voilà comment on opérerait si l'on n'avait pas tracé d'échelle spéciale pour les moments. Sur notre épure, il est plus simple de mesurer directement la hauteur du point M à l'échelle des moments : on retrouve ainsi 2326km pour le moment maximum.

Comme nous supposons que la poutre est à section constante il en résulte que la section répondant à ce moment maximum est la section dangereuse ; nous allons en calculer les dimensions et nous les appliquerons à toute la poutre.

(b) Calcul de la section pour une poutre en fer. — L'équation d'équarrissage (v. n° 144) nous donne

En remplaçant M par la valeur trouvée ci-dessus, 2326kra, et R par 6.000. 000k qui est la résistance de sécurité répondant au mètre carré (*), il vient :

Il nous faut donc employer un fer dont la section présente pour moment de résistance I : v la valeur ci-dessus.

Or, il est impossible de faire fabriquer des fers sur des dimensions spéciales ; il faut, de toute nécessité, utiliser

(1) Dans les calculs, il est indispensable, si l'on veut éviter des fautes énormes dans la position de la virgule, de toujours prendre pour unités le mètre et le mètre carré : jamais le millimètre.