HOHENT DES FORCES PARALLÈLES PAR RAPPORT A UN PLAN

Les composantes à l'inlini des forces parallèles agissant sur différents points dans l'espace ont pour mesure le moment de ces forces par rapport !l leurs projections respectives, et ce moment est lui-même proportionnel au produit de chaque foree par la longueur du rayon projetant son point d'application. En outre, toutes ces composantes à l'inflni sont siUiées sur une m*>me droile h l'infini, et, par suite, s'ajoutent simplement en donnant une résultante qui est la mesure du moment de la résultante des forces données par rapport à la projection de celle-ci. II en résulte que, si nous désignons d'une façon générale sous le nom de moment d'un système de forees parallèles par rapport à un plan donné la somme des produits de ces forces par les longueurs correspondantes des rayons parallèles qui projettent, suivant une direction arbitraire, leurs points d'application sur le pian donné, nous pourrons dire :

Le moment de diverses forces parallèles par rapport à un p'ian donné est égal au motnent de la résultante de ces forces par rapport au même plan.

11 en résulte que, si l'on déplace les points d'application de différentes forces parallèles dans des plans parallèles quelconques, le point d'application de la résultante se déplacera aussi dans un plan parallèle à ces derniers. Cette proposition résulte aussi directement des constructions delayf^. 121.

11 en résulte aussi que le moment d'un nombre quelconque de forces parallèles consécutives réunies dans un plan de projection par un polygone funiculaire, par rapport à un plan projetant quelconque, est égal au produit du segment intercepté sur la projection de ce plan par les

COMPOSITION DES COMPOSANTES PASSANT PAR UN MÊME POINT. 20i

côtés extrêmes du polygone, et de la hauteur du polygone des forces.

Les deux propositions suivantes sont une nouvelle conséquence de la construction, ainsi que du théorème des moments énoncé ci-dessus :

Si toutes les forces à composer peuvent être réparties en groupes tels que les centres de tous les groupes coïncident au môme point, ce point sera aussi le centre de l'ensemble des forces données.

Si les centres des groupes sont tous situés sur une môme droite ou dans un môme plan, le centre des forces sera aussi situé sur cette droite ou dans ce plan.

60. COMPOSITION, POUR UN SYSTÈME DE FORCES DANS t/eSPACE, DES COMPO- SANTES PASSANT PAR UN MÊME POINT ET DES COMPOSANTES SITUÉES DANS U5 MÊME PLAN

Si on coupe par un plan un nombre quelconque de forces dans l'espace et quon décompose chaque foi^ce^ comme il a été dit au n* 56, en deux composantes dont r une soit située dans le plan et dont Vautre passe par un point fixe arbitrairement choisi en dehors du plan, la résultante de ces dernières composantes rencontrera le plan au centre d'un système de forces parallèles appliquées aux points de rencontre des forces données avec le plan et ayant des intensités proportionnelles aux hauteurs respectives des différentes forces données au-dessus du plan (*;, La hauteur de la résultante du groupe des composantes non situées dans le plan est égale à la somme des hauteurs des différentes forces données,

La proposition est évidente lorsque le point fixe est à Tinfini. Pour rétendre à un'point quelconque, il suffit de remarquer que la résultante correspondant à un point à Tinfini peut ôtre décomposée en deux forces, l'une passant par le point choisi, l'autre située dans le plan, et que la hauteur de la première force au-dessus du plan est la môme que celle de la résultante. Donc :

Étant donné un système de forces dans Vespace, à chaque plan choisi arbitrairement pour effectue^' la décomposition indiquée précédemment correspond un point de ce plan par lequel passe constamment la résultante des composantes non situées dans ce plan, quel que soit le point fixe choisi en dehors du plan pour effectuer la décomposition.

(') Voir, pour la définition de la hauteur d'une force au-ddssus d*un plan, la note de la page 183.

Mft COHP'ISITIIIN DES Fimr.ES.

A cette proposition correspoiirt la réciproque suivante :

A chaque point arbitrairement r/ioixi pour eff'enluer la décnmposiliim des

fûrreu dnnnpet, cotTeiftond mm plan imaaM par ce point et qui contient

NMitamment la résultanle du groajie des romposantes ne pasmnr pnn par le

/mint rhoiii, quel que soit le plan ndopti' pour effectuer la décompoêition.

Soit, en effet [/Sg. 122), p le poini choisi. De re point, projetons les deux

forces A, et A, sar un plan @ pris arbitrairement et décomposons chaque force A au point (AS) (nous représentons par A l'une quelconque des forces A, et A,) en deux composantes suivant deux directions, l'une B passant par p, l'autre G située dans le plan S. Cela fait, déplaçons les forces agissant suivant les directions C, de façon que leurs points d'application se trouvent sur l'inlersecUon d des deux plans projetants. L« hauteur A de chaque force G par rapport à la ligne d sera alors égale au

momentdeA,parrapportaupointp,diviséparr^,soit--T , 91 étant le double

de la surface représentative du moment, et d la distance du point p au plan <B mesurée suivant l'intersection des deux plans projetants, comme l'indique la fig. 122.

Cette hauteur des extrémités de C est indépendante de la posiUon du

PROPRIÉTÉS PROJECTIVES d'UN SYSTÈME DE FORCES. 203

plan © dans l'espace, lorsque d reste constant ; quelle que soit en effet la position du plan, Textrémité de C décrit une parallèle à d à la distance h. Ces parallèles sont indiquées par un trait ponctué sur la /î^. 122. Par suite, rextrémité de la résultante R des deux forces Gj et G, se déplace aussi suivant une parallèle à rf, c'est-à-dire que la résultante est toujours sitaée dans un plan fixe passant par p ; en outre, le moment de cette résultante par rapport à p est constant. Si en particulier nous supposons le plan @ perpendiculaire à d, les composantes G, et par suite aussi la résultante R, seront proportionnelles à leurs moments respectifs ; pour la résultante, ce moment sera 9t = R^.

Nous ayons supposé d constant, mais cette hypothèse n'est pas nécessaire pour la conclusion à laquelle nous voulons arriver. Si le plan @ coupe la ligne c/ à la distance d au lieu de d^ les K correspondant à

cette nouvelle position seront égaux à -= au lieu de -y ; les deux A' seront

donc proportionnels aux premiers A, c'est-à-dire qu'ils seront modifiés

d dans le rapport -r . Le plan projetant de R' ne sera par suite pas modifié.

d et R' sera devenu aussi R -s . Nous aurons donc comme précédemment :

R'rf'=:Rrf=3î.

La force R étant complètement déterminée par les intersections des parallèles à d avec le plan ®, elle pourra de la même façon être composée avec la composante d'une autre force quelconque située dans le plan S.

Dans la géométrie descriptive, on donne souvent la direction d'un plan au moyen d'une perpendiculaire à ce plan. Cette perpendiculaire définit en effet complètement la direction du plan, puisque tous les plans perpendiculaires à une même droite sont parallèles entre eux, et que l'angle que deux plans font entre eux est égal à l'angle des deux normales à ces plans.

Suivant un usage analogue, nous définirons la positicm des plans projetants au moyen de leurs normales et d'un point de ces plans, par eiBmple le point fixe p.

Si maintenant nous donnons à ces normales des longueurs proportionnelles aux moments ^, en faisant partir toutes ces longueurs du point p pris pour origine, et qu'on les compose entre elles comme des forces agissant sur le point p, la résultante de ces deux moments sera normale au plan 91 et proportionnelle au moment 31, car le contour Sl^Sl,9l servant à composer les moments est semblable au contour CiCjR, quand le plan 6 est perpendiculaire à rf, comme le montre la

SW i;(lMPOS[TI0N DES KOnCES.

fig. 122. Par conséquent, si 91, el 91, sont perpendiculaires à G, elC,, M sera aussi perpendiculaire à U.

Nous possédons maintenant tous les éléments nécessaires pour composer avec le moment 91 le moment JH, de la composante C„ dans le plan ®, d'une 3* force A,. Nous n'avons pour cela qu'à mener, dans le faisceau p, la normale correspondante au plan projetant de A,, en lui donnant unelongueurproporlionnelleàSl,, el à ajouter cette longueur à 3t, c'està-dire à la somme 91, -f- 91,. En procédant ainsi, nous avons remplacé la composition des forces dans le plan S par une composition dans le faisceau p, et ce faisceau, par suite de la manière même dont il a été formé, jouitde propriétés réciproques par rapport au plan @- Ainsi Irois forces ou un pifis grand nombre, situées dans le plan 3 et se coupant ennn même point, correspondent à nn même nombre de rayons normaux aux plans projetant ces forces et situés dans un même plan; ce plan correspond au point d'intersection des forces. De mpme, différent* points du plan S situés en ligne droite correspondent à un même nombre de plans du faisceau, qui se coupent sur le rayon correspondant à la ligne droite sur laquelle sont situés les points.

Ainsi que nous l'avons déjà fait observer, cette composition des forces est complètement indépendante de la position du plan £, puisque, pour composer les moments, nous n'avons besoin d'autres données que la direction des plans projetants et la grandeur de ces moments. Cette ' composition s'applique donc aussi à des forces situées dans le plan à l'infini, car les moments par rapport à p ne sont, dans ce cas, pas autre chose que les composantes à l'infini obtenues en décomposant chaque force A en une force parallèle passant par p et en une autre force à l'infini.

Donc :

Si Ton veut composer des forces situées dans leplan à l'infini, ondéterminera le rayon normal à la résultante cherchée el dont la longueur représente le moment de cette résultante, en portant les moments des différentes forces sur tes rayons coi-respondants et composant les moments comme des forces ordinaires.

Ce que nous venons de dire montre comment on peut composer des forces à l'infini, opération que les indications du n* 54, p. 181, ne nous permettaient pas encore d'efl'ectuer.

PROPRIKTÉS PROJECTIVES D'UN SYSTÈME DE FORCES. 205