PROPRIÉTÉS PROJECTIVES d'uN SYSTÈME DE FORCES

Lorsqu'on a, par la méthode exposée dans les numéros précédents, réduit à deux forces R et S, qui ne se coupent pas, un système de forces dans l'espace, et qu'on prend un point a sur l'une de ces deux forces, S, par exemple, le plan correspondant à ce point sera nécessairement le plan projetant orR. Décomposons en effet les différentes forces A, aux points où elles rencontrent un plan arbitraire 91, suivant la direction du point a et suivant la direction de l'intersection des plans aA et 91, et opérons de même pour la résultante R. La composante de R, dans ce dernier cas, sera la résultante des composantes de toutes les forces données dans ce même plan. Cette composante sera donc projetée du pointa par le plan oR ou ®, et, d'autre part, toutes les forces passant par le point o, non compris la force S, seront en équilibre.

Inversement, si parla force R on mène le plan 91, le point p correspondant à ce plan sera le point de rencontre du plan et de la force S. Si, en effet, on décompose les différentes forces A dans leurs plans projetants, menés par un point arbitraire a pris sur la direction de S, en deux composantes dirigées, l'une suivant le point a, l'autre suivant l'intersection de ces plans avec 9î, la force S sera la résultante de toutes les composantes passant par a; cette résultante coupera donc toujours le plan 91 au point de rencontre de ce plan avec S. De là résulte que, lorsque, en choisissant le point p, on a déterminé le plan 91 qui doit projeter la force R ne passant pas par le point p, inversement à ce plan 91 correspond le môme point p, par lequel doit passer constamment la force S non contenue dans ce plan.

Donc :

Si, en choisissant une place fixe @, on détermine le point fixe a de ce plan par lequel doit passer la force S non située dans ce plan, inversement^ en prenant le point fixe a, on obtient le plan fixe S, qui projette la force R ne passant pas par ce point.

En raison de l'importance de ce théorème de réciprocité, nous le démontrerons directement d'une façon géométrique. La hauteur de la

force A par rapport à «f est - — • ; la hauteur de cette môme force par rapport

SI c au plan 91, mesurée normalement à ce plan, sera - — ^^ . 7; , en désignant

(pa) G

par e la longueur des perpendiculaires abaissées des extrémités des forces C sur le plan 9Î, longueur qui est la môme pour C, et pour G,.

COHIHISITII'N UtS FIIRCES.

rf'

plan m est - — ; . Le produit cd étant constant pour les deux forces A,

{P«) et A,, les distances pa, et pa, seront en raison inverse des bauteurs des forces A par rapport au plan ^. Le point p ost donc situé sur la ligue d comme le point n est situé sur la ligne 6. Cela posé, dans le plan projejetant la force A , du point a, portons, sur une normale à 6, le moment S» de cette force par rapport au point <s. Il est facile de voir qiie la hauteur de l'estrémité de ce moment, par rapport au plan <£, est Égale à (ffA)H. Mais on a par construction (uA,) H, = (oAJ H,, c'est-à-dire que les hauteurs des moments SIo, et 3(ij, , par rapport au plan S, sont égales. Par conséquent, le plan projetant le moment résultant, plan qui doit projeter aussi la résultanle R, comme nous l'avons vu au numéro précédent, sera précisément le plan "S. Ce plan © correspond donc bien au point a.

Pour démontrer les diverses propositions qui précédent, nous avons choisi arbitrairement le point p et le plan ©. Mais, puisque le plan 5 est déterminé par le point a, nous pouvons aussi choisir arbitrairement les points p et a, et alors nous obtiendrons R en prenant l'intersectioii des deux plans R et @, qui correspondent respectivement i deux points p et <F de S. Inversement, nous pourrons nous donner arbitrairement les pians 91 et @ ; la force R coïncidera alors avec l'intersection do ces deux plans et la force S avec la ligne joignant les doux points p et o correspondant il ces deux plans.

Donc, SI un plan loume autour d'une droite R, le point cerrespondani à ce plan décrit la droite S correspondant A R.

Nous appellerons désormais droites correspondantes ou conjuguées, deux droites suivant lesquelles on peut appliquer des forces finies R et S, susceptibles d'équilibrer un système de forces donné, et nous appellerons groupe 1 ensemble de deux forces R et S.

Le faisceau de plans passant par R et la ponctuelle S sont évidemment des formes projectives; ce sont même des formes perspectives.

Si le système de forces donné consiste simplement dans les forces A, et A, {fig. 122), A, et A, pouvant d'ailleurs être les résultantes d'autres forces, il résulte des propositions précédentes que les directions des quatre forces A,, A,, RetS sont situées sur un même hyperboloïde , dont les droites 6 et rf sont des directrices. Quels que soient en effet les points p et o pris sur S, les plans qui projettent les trois autres forces A,, A, et R doivent se couper suivant une même droite, car autrement leurs moments ne pourraient pas se faire équilibre; de même, quels que soient les plans 9{ et @ menés par R, les points suivant lesquels ces plans

PROPRIÉTÉS PROJEGTIYES d'uN SYSTÈME DE FORCES. SOT

coupent les trois autres forces doivent être en ligne droite, car sans cela les composantes de ces forces situées dans chacun de ces plans ne pourraient pas se faire équilibre.

Si Ton prend sur Thyperboloïde AiA,RS une génératrice quelconque P, la ligne correspondante Q sera aussi une génératrice du môme hyperbûlolde. Si, par une directrice 6, on mène un plan coupant deux lignes correspondantes A,A,, RS ou PQ, le point correspondant à ce plan décrira la même directrice by car au point q correspond le plan @, et au point k^h le plan A,6. De là résulte que toute directrice du système, c'est-à-dire toute droite qui rencontre deux directions correspondantes, se correspond à elle-même. Nous verrons plus tard que le système de forces donné ne peut être mis en équilibre suivant les directrices qu'au moyen de forces infinies. Les directrices du système de forces donné sont caractérisées par cette propriété que les moments du système par rapport à Tune quelconque d'entre elles est toujours nul; car, si cette directrice coupe l'une des deux forces auxquelles le système peut être réduit, elle coupera aussi l'autre; le moment de ces deux forces par rapporta la directrice est donc nul, et il en sera de même de celui dp système.

Le faisceau de plans @ passant par la directrice ^ étant projectif avec la ponctuelle formée par le point q qui décrit la même directrice, celle-ci sera aussi projective avec la ponctuelle obtenue par l'intersection de la force R projetée par le plan © avec d. Mais, comme, par le déplacement du plan S, la force R engendre l'hyperboloïde, dont b est aussi une section, il en résulte que les ponctuelles {b R) et a sont aussi projectives. Les forces R et S étant correspondantes , ces deux ponctuelles sont en involution.

Donc trois directrices quelconques du système déterminent un hyperboloide, qui est le lieu géométrique d^une série de groupes de deux forces correspondantes formant une involution.

Par conséquent» deux groupes de droites correspondantes qui doivent être situées sur un même hyperboloïde , suffisent pour déterminer le système, car ces droites déterminent l'hyperboloïde. et en outre, d'après le n* 40, p. 156, les rapports des quatre forces agissant suivant elles. Ordinairement on ne donne pas quatre lignes d'application des forces^ mais seulement deux avec la grandeur des forces R et S correspondantes, et il s'agit alors de déterminer la force Q correspondant à une autre force P.

Menons par la force P deux plans coupant les droites R et S et divisons les points d'intersection en raison inverse des hauteurs des forces R et S par rapport à ces deux plans. Nous obtiendrons ainsi deux points

208 COUI'IISITKI.N UES MUICKS.

do la droite Q. On peul aussi prendre deux poinls sur P ot ci>mposer l^f moments îR et S des forces H et S par rapport h chacun des (ieux points ' fhoisis; on obtient ainsi deux plans qui contiendront In force y. Le ^ quatre lignes PQRS seront, par construction, situées sur un ni^nic hy — pcrbolotde. Nous verrons, h la fin de ce chapitre, comment ces opéra — lions peuvent être effectuées d'après les règles de la géométrie des — i-riptive.

Nous allons maintenant essayer de déterminer la position de Q sur Fis iM. l'hyperboloîde.SoientR'et S'Iesdi-

i-ectrices parallèles fi R et S et situées sur le mÈme hyperbuloîde; ces directrices devront Hre coupées par toutes les génératrices. Nous désignerons les points d'intersection lie IIPSQ avec R' paro-^-irox {fig. 123); et avec S' par pTi'cn'x', Les cùlés du coulonr fermé AJiKcnn.' sont respectivement parallèles aux directions des quatre forces, et, comme le contour est gauche, ces forces devront, d'après le n' W, p. 156, être proportionnelles aux longueurs de ces côtés. Noua aurons donc :

D'un autre côté, par suite de la projcctivité des ponctuelles v.-Ap'it', les formes «ox et x'p'n' sont semblables, et l'on a :

Ces relations permettent de déterminer très facilement la position d'une force Q par rapport à R' et S' au moyen des distances ox et x'p' des points d'intersection de Q avec R' et S' A R et S, quand la position des autres points d'intersection est donnée.

Ce qui pi'écède n'est, du reste, pas autre chose que la solution du problème de géométrie suivant : Déterminer, sur les ponctuelles projectives cr.n<r et p't'oc, les points x et x' de telle sorte que les longueurs des segments xit et t.\' soient dans le rapport de deux longueurs données Rets.

L'expression générale du double rapport ou du rapport anharmonique des quatre forces RPSQ peut aussi s'obtenir au moyen des segments in-

PROPRIÉTÉS PROJECTIVES D*UN SYSTÈSIE DE FORCES. 209

lerceptés sur R' et S' par les frois premières forces seulement. On aura en effet :

(RPSQ) = (oc^ax) = (p'ic'c^'x ) = ^ =r t! ,

9X pic

OU bien :

Ces relations donnent le rapport anharmonique des quatre forces sur lliyperboloïde, quand on connaît le rapport des forces et les segments interceptés sur R' ou S par les trois droites RPS ou SQR.

R S Appelons 3 le volume du tétraèdre xicic'x', 3 '—r-, sera le volume du

tétraèdre obtenu enjoignant les extrémités des forces R et S portées sur

leurs lignes d'application, car les volumes de deux tétraèdres dont deux

arêtes opposées ont respectivement la même direction, sont entre eux

comme les produits des longueurs de ces arêtes. De même le volume du

P.Q tétraèdre déterminé parles deux forces P et Q sera 3* — r-r-.

Hit .XX

Les quatre rapports qui entrent dans les expressions de ces volumes étant égaux, les volumes des deux tétraèdres sont aussi égaux. De là le théorème suivant : Le volume du tétraèd7*e obtenu en joignant ftf exlrémita des deux forces d^un même groupe, auxquelles on peut réduire un système de forces donné, est constant. On peut regarder une directrice comme une ligne double d'une involution de droites situées sur un hyperboloïde, et il existe alors une seconde directrice qui forme avec la première et avec deux droites correspondantes quelconques un système harmonique (*). Si on rapproche de plus en plus de la première ligne double les droites R et S, leur distance normale A et l'angle t que ces directrices font entre elles deviennent de plus en plus petits, et enfin deviennent infiniment petits lorsque les deux droites arrivent à se confondre avec la directrice. Le volume du tétraèdre RS est 1/6 R.S.A sin t. Si A et T deviennent infiniment petits, il faudra, pour que le volume reste constant, que R et S deviennent infinis. Toute directrice qui ne coupe pas R et S peut être considérée comme une ligne double de celte espèce, car elle détermine dans ce cas, avec RS, un hyperboloïde. Donc les directrices du système sont des lignes doubles, pour lesquelles les deux forces du

(•) Les deux droites doivent appartenir au même système de généi-atrices de fbyperboloïde que les deux directrices.

210 COHPOSITKIN DKS FORCES.

fftvupe auxquelles le système de fiirces donné peut être réduit cotiwtdenl et deviennent infinies.

Une ligno double n'équivauL cependant pas cumplèteuieiil, un point di! vue delà détertnination du système, <i deux droites coiTespoDdante& distinctes. Le système est bien déterminé par les directions de detis forces H et S et par une directrice L ne coupant pas celles-ci, car, sur riiyperboloïde RS.L, l'involution est complètement déterminée parle ((roupû R S et la ligne double L; mais elle ne le serait pas si on se donnait seulement deux lignes doubles L et M ne se coupant pas. Ilfaul, pour déterminer complètement le système réglé eu ijivolutiou, dont L et M sont des rayons directeurs, ou bien se donner un rayon H du système, ou bien trois directrices A, c. d coupant L et M.

Si on prend arbitrairement la première force R comme rayon de l'involution dont L et M sont de» lignes doubles, le rayon S correspondant h II sera tel que le groupe HS forme, avec les lignes doubles L et M, un système harmonique. L'involution L.M.ÏtS est maintenant complètement déterminée, et on n'aura qu'à construire un autre groupe quelconque pour déterminer le rapport des forces R et S.

Si deux forces R et S représentant le système sont données, et qu'on prenne une troisième force P, on verra Facilement si l'involution RS.PO possède ^s rayons doubles. Pour cela, menons par P un plan quelconque confiant R et S, et déterminons le centre des hauteurs de ces deux lon'os ;iu-dessus du plan, centre par lequel doit passer la torre Q. Si entre ce point et la droite P se trouve un des deux points de rencontre du plan avec les deux forces H et S, l'involution PQ.RS n'a pas de ligne double. On peut aussi, par un point quelconque de P, projeter les forces R et S. et déterminer le plan résultant des moments de H et de S; ce plan projettera 0 et passera par l'intersection des deuï premiers plans ; si ce plan est séparé de P par un seul des deux autres plans, l'involution PQ.RS n'a pas de ligne double.

Au lieu de déterminer un système de forces au moyen de deux forces R et S, donnons-nous les lignes d'application des forces de deux groupes RS et PO, et cherchons à déterminer la force U correspondant à une cinquième force T n'appartenant pas à la série RSPQ. Nous n'aurons qu'ù mener par T un plan quelconque coupant les quatre directions données; en joignant respectivement les points d'intersection de ce plan avec Q et S d'une part, et avec P et Q de l'autre, on aura deux droites qui devront se couper en un point de U. Ou bien, par un point quelconque de T, nous projetterons les quatre forces, et le plan déterminé par l'intersection des plans projetant RS et par celle des plans projetant PQ devra passer par U. 11 suffira, dans l'un et l'autre procédé, de deux '