ET AVEC LES COURBES DE 3* DEGRÉ

Les propriétés projectîves du système de forces développées dans le luunéro précédent, propriétés qui sont indépendantes de toute mesure, sont connues dans la géométrie de position, où le système de forces est

i[2 l:0NPuslT[o^ iies forces.

Dommé syslème focal. Le point correspondant à un plan s'appelle foyer de re plan, et le plan correspondant à un point, pla» focal de ce poinl.

Cette question est traitée d'une fai;on compli^to dans les Beitràge de Staudl, p. 38 à 63 (•), et nous en avons i-eproduit dans le numéro précédent les parties los plus importantes pour notre étude, eu la considérant toujours au point de vue des forces, U nous suffira d'appeler ici lallention sur l'identité des deux systÈmes.

De mËnie qu'un système focal est déterminé par une courbe du 3' degré, un système de forces sera déterminé aussi par une semblable courbe, que l'an peut appeler par suite courbe directrice du système. La considéralion des relations entre le système de forces et ces courbes ne rend pas dans la pratique de bien ^ands services, parce que les résultantes dont on a besoin peuventiïlre construites directement avec autant de facilité qu'au moyen d'une courbe. En revanche, celle considération donne une dée très claire de la relation entre les points, les plans et les lignes correspondants, relation qui est tout à fait analogue à celle des pâles et des polaires dans le système polaire. Nous ne pouvons, par suite, nous dispenser de traiter la question à ce point de vue.

Un peut, dans un plan, mener par un point quelconque deux tangentes réelles ou imaginaires à une courbe du â' degré. La ligne qui joint les points de contact est la polaire du point. De même, par un point quelconque 'de l'espace, on peut mener trois plans osculateurs à une courbe du 3* degrf , deux de ces plans pouvant ôtrc imaginaires; le plan déterminé par les trois points d'osculalion est le plan focal du point, et il passe toujours par ce dernier. Inversement, tout plan coupe la courbe en trois points, dont deux peuvent être imaginaires. Les trois plans osculateurs des points d'intersection se coupent en un point qui est le foyer du plan (Staudt, p. 313). Le foyer d'un plan est son point d'osculalion.

Tous les rayons menés par ce foyer dans le plan focal correspondant sont des directrices; il en est de même, par conséquent, de tous les rayons menés par un point de In courbe dans le plan osculateur. Le plan osculaleur coupant la courbe en trois points, la tangente à la courbe, qui esl située par suile dans ce plan, est la seule directrice reliant deux points de la courbe; donc les droites qui joignent deux points de la courbe ne peuvent être des directrices que si elles sont tangentes à la courbe.

(') Le systôme focal rurrespoiiii A ce que Mobius, Staudt et les géomètres Hlleniaiids appellent Nulliy-ilnii. Les expresiiloiis foyer et pian focal sont celles aduptées p3i' ChuBlca et Manaheiin; elles paraissetit préférables aux exprcssiuDs Je if''U et plan polaire adoptées par Cremona, et qui pcuTeut donner lieu i des courusions avec les syatànies polaires oi'dinaires.

RELATION DU SYSTÈME DE FORCES AVEC LE SYSTÈME FOCAL. Si 3

A la droite qui joint deux points de la courbe correspond Tintersection des deux plans osculateurs ; cette intersection ne coupe pas la courbe, car autrement chaque plan osculateur aurait un point commun avec la courbe en dehors du point d'osculation. A un cône du 2* degré perspectif à la courbe du 3* degré correspond un faisceau, qui enveloppe une courbe du 2' degré située dans le plan osculateur de la courbe au sommet du cône.

A une droite, qui passe par un point de la courbe sans être située dans le plan osculateur, correspond une autre droite située dans le plan osculateur du point, mais ne passant pas par le point. Quand la première droite est située dans le plan osculateur, elle est une directrice et se correspond à elle-même.

On peut de différentes manières construire des surfaces réglées contenant la courbe directrice. Une surface satisfaisant à cette condition est déterminée par une droite passant par un point de la courbe (Staudt, n* 472); ou par une sécante (ligne joignant deux points réels ou imaginaires de la courbe) et un point arbitraire situé ni sur la courbe ni sur la sécante, et qui détermine une deuxième sécante (Staudt, n' 478) ; par conséquent aussi par deux sécantes (*). A chaque surface réglée, ainsi déterminée, correspond une autre surface réglée, à laquelle sont tangents tous les plans osculateurs de la courbe d'ordre. Parmi les sécantes de Tune de ces surfaces réglées et les intersections de deux plans de l'autre, il se trouve deux sécantes et deux intersections qui sont tangentes à la courbe, et ces quatre tangentes coïncident deux à deux. Les deux surfaces réglées ont, par suite, deux directrices communes. Comme ces directrices ne se coupent pas, les deux surfaces doivent se couper en outre suivant deux autres droites , et elles ont par conséquent en tout quatre droites communes, qui peuvent être imaginaires deux à deux. Il en résulte que ces deux surfaces réglées ne peuvent pas se couper suivant une courbe du 3* degré, et, par suite, qu'aucune des surfaces réglées dont les génératrices forment une involution, et qui déterminent le système de forces donné n' 61, p. 205, ne peut être perspective à une courbe de 3* degré déterminant le système. Sur chacune de ces surfaces réglées, on peut construire une infinité de courbes du 3* degré, mais aucune de ces courbes ne peut être une courbe directrice du système focal.

Après avoir vu comment le système focal peut être déterminé par une courbe du 3* degré dans l'espace, c'est-à-dire comment une telle courbe

(') Voir la note £.

peut être une courbe directrice du système de forces ou du système Toeal, iJ nous reste à montrer comment invci'senieDt, étant dnnaé un syslÈme de forcesnu us système focak, on peut construire une courbe directrice. Noos supposons d'abord le système donné, comme au n" 34, par une surface réglée dont les génératrices forment un syslèm'j eninvolulion représenté pat le groupe /)/!, -yy,. Nous pouvons choisir sur cette surface trois dii-eclrices iirbitraircs abr, qui doivent être tangentes à la courbe ; nous pouvons en oatre prendre arbitrairement les points de contact sur deux de ces tangentes, « et b par exemple. Soient A=fl/i et B^éy ces points. Alors a/*, et 6'/, sont les plans focaux A, B, de ces poinUs, et, par suite, les plan* osculateors de la courbe en ces points. D'après SUudt, n" 181, p. 311, les deui points docnntiict BC sur h et c sont divisés harmoiii(|uemenl par les plans ap et a/i, : nous obtiendrons par conséquent le rayon r, sur leqnel est situé le point de contact C de la directrice r. en déterminant 1b quatrième rayon barmoniquiï du t^roupe pqp,r. De môme les points de contact A et C sont divisés harmoniquenicnt par les plans % et A^, ; '■ est donc aussi le quatrième rayon harmonique du groupe qp'/,r, et, par suile, un rayon double de l'inyolution pq ■ p,i/, ■ r. L'autre rayon double j-, et le rayon r sont divisés harmoniquemenl par p et y; r, sera donc le quatrième harmonique du groupe qr/n-, , et, eomme les points de contact AB sont aussi divisés harmoniquemenl par les plans cr et cr, , cr, est le plan osculateur du point. 11 résulte en outre de ce que les rayons rr, apparliennenl réellemeiU !i rinvoiiition^/), -ijç^ , (}ue p^, ij, et !■, ^unt lus quatrièmes rayons harmoniques des [iroupes rpçp^ , pqrç^ et qipr,-

Chacun des trois cônes qui ont leurs sommets respectivement en A B G

et qui sont tan^nts aux plans A) p,be B] q,ca C) r,al'

projette la cotiibe directrice, qui est ainsi l'intersection de ces cônes pris deux à deux. Les génératrices de contact de ces cùnes avec les deux derniers plans tangents de chaque groupe sont respectivement. , . A) BG B) CA C) AB

63, coNSTHucTion m: la cochbk directrick t>'un système de forces

Nous avons essayé d'exécuter, sur la fig. I2i, les opérations que nous venons d'indiquer. Nous avons pris arbitrairement les trois directrices aie et les points de contact ABC de ces directrices avec la conrbe directrice. On peut aussi prendre arbitrairement deux rayons de la surface réglée

CONSTRUCTION DE LA COURBE DIRECTRICE d'UN SYSTÈME DE FORCES. 215

en involution, par exemple les rayons p et q, qui passent par A et B. Le rayon r, qui passe par G, est alors déterminé ; il est tangent à Fhyperbole qui limite la projection de Thyperboloïde abcpq sur le plan de la figure.

Fig. iU.

On détermine, par cette même condition de tangence à Thyperbole jointe à la condition que rpqp^ , pqrq^ et qrpr^ forment des groupes harmoniques, les trois derniers rayons p^q^r^ , dont le tracé n'exige aucune explication spéciale.

Les trois plans focaux ou plans osculateurs des points ABC, c'est-à-dire les plans Aj = a/?, , Bj = àq^ , G, = cti, sont déterminés par leurs intersections respectives. La ligne AjB^ passe par les points aq^ et bp^j car ces points sont situés dans chacun des deux plans ; de même Bfi^ passe par les points àr^ et c^,,et GjA, par cp, et a7\. Les trois intersections se coupent au point d'intersection S des trois plans, qui est le foyer du plan ABC, et le centre de Tinvolution formée par les intersections de ce plan a?ec/)p, •^j', -rrj.

Afin de déterminer les deux cônes qui projettent la courbe directrice des points B et G, nous avons construit les sections de ces cônes par le plan A = ap. Le cône B est tangent au plan B, suivant la génératrice 6; le plan B, = bq^ coupe A=ap suivant la droite qui joint les points aq^ (Iq)) (*), car ces deux points sont situés dans les deux plans. Le rayon b coupe A en {bp) ; par suite, la section conique à construire est tangente à Bj en {bp). Le plan Ba coupe A suivant la ligne a et est tangent au

(*) NonB mettons «itre parenthèses les éléments qui sortent de la fignre.

216 IIOHPOSITION DES FORCES.

cône suivant la génératrice BA : donc la section de ce cône est tangente à la ligne a en A. Le plan Se, dans lequel se trouve aussi le rayon q, puisqu'il doit couper la directrice c, coupe A =; aj) suivant la droite jnignant les points cji^aq, et est tangent au cône suivant la génératrice BC; la section conique cherchée est, par suite, tangente à la droite (cp, aq] en son point d'intersection (U) avec BC. Ces trois tangentes et leurs points de contact sont plus que suflîsants pour construire la section conique cherchée, qui est l'hyperbole poinlillée sur la figure. Il est évidemment avantageux d'utiliser pour cette construction le faisceau U ayant son centre au point oii la droite joignant les sommets B et G des cdnes rencontre le plan A.

On obtient par un procédé analogue les éléments dont on a besoin pour construire la section du cône G par le plan K=ap. Cette section est tangente à la droite ar^, cp au point cp; à l'intersection {ar) {&p) du plan Ci avec A en son point d'intersection (U) avec BG; et enfin à la droite a en A. Au moyen de ces trois tangentes et de leurs points de contact, on pourra construire l'ellipse poinlillée de la fig. 124. 11 est utile, pour celte construction, d'utiliser les rayons du faisceau U sur lesquels on a déterminé des points de l'hyperbole.

En joignant les sommets B et C des deux cAnes à des points de l'ellipse et de l'hyperbole situés sur le m6me rayon du faisceau U, on obtient des génératrices des deux cAnes qui sont situées dans un même plan et <ioul l'intersection donne , par suite, un point de la courbe du 3' degré que l'on veut construire.

Le pointu est situé à la fois dansIeplanA=apet dans le plan ABC; par suite la droite poinlillée AU est l'intersection de ces deux plans ; le plan A^nj) étant tangent à l'hyperboloïdeen A, ladroite AU est tangente à ia sectinnderhyperboloïdeparleplanABC. Rappelons-nous maintenant que U est l'intersection des droites {aq. cp) et (ar, èp),d'où il suit,parunepermutation tournante des lettres, que l'intersection des droites (6r, aç) et (bp, cq] est située sur la droite AC et sur la tangente pointillée B, et enfln que l'intersection de {cp, br] et {eq, ar) est située sur AB et sur la tangente G. Ces trois points d'intersection sont situés sur une même ligne droite, qui est la polaire du point S par rapport à la section de l'hyperboloïde par le plan ABC. Au moyen de ces trois points, on obtient te triangle pointillé circonscrit à cette section, et, au moyen de ce triangle, on peut construire la section elle-même, qui est, dans le cas de la l\g. 121, une ellipse que nous avons figurée par un trait plein.

Pour construire la fig. 124, nous avons représenté par un trait plein fort toutes les génératrices de la partie antérieure de l'hyperboloïde audessus de l'ellipse, et nous avons supposé enlevée la partie antérieure au-

CONSTRUCTION DE LA COURBE DIRECTRICE d'uN SYSTÈME DE FORCES. 217

dessous de cette même ellipse, en nous bornant à indiquer par des croix les points d'intersection des directrices et des rayons qui étaient nécessaires à la construction. Enfin nous avons indiqué par un trait pointillé les génératrices de la partie postérieure de l'hyperboloïde.

La courbe directrice du système focal rencontre le plan à Tinfini en trois points; elle est formée par suite de trois branches. Elle a en commun avec l'hyperboloïde les trois points doubles ABC, soit en tout six points. Gomme une courbe du 3* degré ne peut avoir plus de six points communs avec un hyperboloïde sans être située en entier sur cette surface, et que d'ailleurs la courbe cherchée est tangente aux directrices abc situées dans les plans osculateurs AjB,C,, il en résulte que cette courbe est située complètement à l'intérieur ou à l'extérieur de l'hyperboloïde. Dans le cas actuel, elle est située à l'intérieur. La courbe passe aussi par le second point de tangence de l'ellipse et de l'hyperbole, sections des cônes B et C par le plan A = ap, puisque ce point appartient à l'intersection des deux cônes. Ce point et le point double A ^ni les trois points d'intersection de la courbe et du plan k=^ap. Dans la projection représentée par la fig. 124, la courbe de l'espace se projette suivant une courbe plane du 3* degré ayant un point double en D. Cette courbe ayant, dans le cas actuel, trois asymptotes, n'a qu'un seul point d'inflection réel, situé au-dessus du point A.

Nous n'avons adopté aucune échelle pour construire la fig, 124. On ne pourrait évidemment opérer ainsi s'il s'agissait d'effectuer réellement la construction, et en outre il serait nécessaire de prendre deux plans de projection. En choisissant pour l'un de ces plans ABC et pour l'autre A =<!/>, les deux projections s'exécuteraient aussi facilement que la projection unique et abstraite de la fig. 124.

Gomme confirmation de ce que nous avons dit en commençant, nous ferons remarquer que la courbe directrice du système focal ne se présente jamais comme moyen de construction, mais comme le résultat final de constructions exécutées au moyen de la surface réglée en involution. On doit, par suite, considérer la courbe directrice simplement comme un mode de représentation des directrices correspondantes d'un système de forces, tandis que la surface réglée en involution est le mode principal de représentation du système focal et du système de forces.

La fig. 124 peut aussi servir à mettre en lumière le contenu des n" 483 à 487 de l'ouvrage de Staudt.

COMPOSITION* DES FOBCEft.