COHPOSITIOK ABALITIQUE DUS FORCES DANS l'bSPACE

La composition analytique îles Torces dans l'ûspace n'est iiu'une simple gén^fAli- Bation des formules de sommatioii établies an n° 47. Noue obtiendrons ces aonvéOes (Ormules en procédant eiactement comme an n* 67, p. 196. Prenons un point arbitraire (r'ï'ï'l) Ulff. 1») 8t no plan artitrwre F.n, lii. (5"i'C'f"); soient (i"'j"t"l) le point d'inter-

aection de la droite l et du plan, ot {î'iiX'tO le plan projetant cette droite parle point

1.3 droite m (|ui joint les deux points et rinteracction /• ries daui plans coupent la droite / an mâmâ point et aont sitoèes duia un même plan. Nous pouvons par auite dÉcomposer la forco A agissant suivant / en dcui composantes B et C auiyant les directions de m et n. Nous ferons ensuite, d'après les rè(>les déjà exposées, la somme <le toutes les forces B passant par la mâme point

(ar'y'î'l), et celle de toutes les forces C situées dans un m^me plan IV'r.'V'v"). Ces

opérations s'effectueront de la manière suiTante : Les coordonnées du point d' intersection j"»— ''^ '■* force A et celles du plan

projetant (',. .. rësulteut, eu adoptant les mâmea notations (pi'au n- 47. p. 166, dee

Pj = Uu'i, + ImiX. + ltix\ et j:", = Jj^î"* + /«.£''. + 'aiX"t. En multipliant par lea valeurs de E'' et x', nous obtenons les équations

- S'iE", = - {/.^'î + i,,j^; + i.^-i)r„

— x\x\ ^ — {WaX'i + h:-:\ + 'n.ï'Mi',. Les coordonnées linéaires des droites m et n seront

fn.i = £'ai — x"i£, ot n,» = X,^\ — E'aI",- Appelons maintenant b la constante

* = îVi + *"'-*''' + ^'^'' + E'-ix-t = V'i' + 1>' + t"ï' + 1. L'addition des quatre équations ci-dessus nous donne :

Il est bon de remarquer que les m, n et / ne sont pas du même degré, mais que lea deuï premières quantités ont en plus le facteur 6,

Si on projette les trois droites /, m et n, d'un même point {x"i^"i' 1), et qu'on forme les équations m'", n"\ V" des trois plans projetants, de la même manière que nous avons, au n° 47, p. 167, formé l'équation t au moyen de /.*, ces équations ne contiendront les quantités m,\, n.t et l,\. qu'au 1" degré, et par suite nous devrons avoir aussi pour ces équations la relation

COMPOSITION ANALYTIQUE DES FORCES DANS l'eSPACE. 219

D'après le n* 47, p. 168, les trois forces ABC étant dans un même plan seront liées entre eUes par Téquation :

O --, \J ... A^ aa

où e' et e' sont formés au moyen des coefficients m^i, w^» de la même manière que e au moyen de l^i.

Les quantités f", m'", n'" contenant les coordonnées Tariablcs «"'t, ces équations ne i)Ourront être simultanées que si Ton a :

Nous déterminerons maintenant la résultante de toutes les forces B passant par le point (x'y'z'l), d'après ce qui a été dit au n* 47, p. 168, en faisant la somme de toutes les équations des points d'intersection des lignes d'application m de ces forces avec le plan (V't)"('V'}, après avoir préalablement multiplié ces équations par leurs facteurs normaux. L'équation des points d'intersection est identique à celle de / multipliée par 6; elle sera par suite V7>, en désignant, comme nous l'ayons liait précédemment au n' 47, p. 167, l'équation du point d'intersection par V. Le

facteur normal est -,; par suite, l'équation a" du point d'intteection de la résul-

e tante avec le plan (Ç"V'C"y ") sera

Cette équation, qui correspond tout à fait à celle obtenue au n" 47, p. 168, est in- «lépendante des coordonnées du point {x'y'z'l)^ puisque le facteur b a disparu. Par suite, pour le même plan {V'Ti"^"v% on obtiendra toujours le même point a".

<»n obtient un résultat analogue en composant ensemble les composantes partielles C, qui agissent suivant les droites n et sont situées dans le même plan r;'T.';"f"j. Projetons-les par le point (.r'y'z'l); les équations des plans projetants seront celles des /' multipliées, comme celles des lignes d'action des forces, par le facteur b. L'équation du plan projetant la résultante sera, par suite, d'après le n* 47, p. 168 :

Ces équations sont indépendantes des coordonnées du plan {},"rî'XJ'v") ; on obtient donc le même plan projetant, quel que soit le plan choisi pour la décomposition «^es forces.

Les sommes «it, n" 47, p. 167, satisfaisaient à l'équation

01^014+ ûlsOiî +-«14/7,3=311 = 0.

n n'en est plus de même dans le cas actuel, parce que les aa et les hk ne sont pas formés au moyen des relations entre les coordonnées d'un même point ou d'un même plan et celles d'autres points ou plans quelconques, relations résultant de ce que nous supposions que les lignes d'action des forces étaient tontes situées dans un môme plan ou passaient par un même point. S'il arrivait que l'équation 9v = 0 fût satisfaite, les a,* seraient alors les coordonnées d'une droite, par laquelle tous les plans projetants a' passeraient, et sur laquelle tous les points de rencontre a" seraient ntoés; le système se réduirait dans ce cas à une force nnique agianint suivant cette droite.

2M r.OMWiSITlON IIES lOltCES.

Pour terminer, noua pépéterons les proposiiiona démontrées jusqu'à présent, qui s'appliquent d'une fnçou générale à l'espsce, et parmi lesquelles sont comprises ct-UeB'lu n°47, p. 16S.

Formons, nu moyen lies coordonnées /,t des droiiM suivunl lesquelles agissent les (iarces A, les facteurs

d&D9 lesquels les u représentent les cosinus des angles ronnés par les axes coordonnés. Le signe du rwlical doit être choisi de f«llo fa^on que {/,i\ + /i,i + /,,t) -

soit l'équation du point à l'infini vers lequel la force A est dirigéB. Formons ensuite, BU moyeu des f, les sommes

]..âs coordonnëoB du plan (i'nr.'n^'nf'M) qui projette, du point (x'yVl), l'une des deux forces nuxquelles ae réduit le aystème quand toutes les autres forcM postent par ce

ot l'équation du plan projetant e?t ;

a' = ^ f ^ = EW + H'-V + î'-ï + "'»•

Les coordonnées du point t.x"y"i"l), où le plan (5"i|"C"e") eat rencoolré par l'une des forces, l'autre force étant située dans ce plan, seront:

et ainsi de suite.

11 est très important, comme nous le verrons dans les numéros qui suivent, de bien montrer que les ,r"„ dépendent des i" de la m^me manière que les x' dépendent des Ç'h. Pour mettre plus clairement en évidence cette corrélation, nous mettrons les Xm sous la forme suivante :

iHï". + "ni" + ■,.!" + «,.>"=«»". + 2 »""' 7 - "■

ss +«.,r + ,..,."+.„r =s +2«' 7 = »-

Ces équations donnent pour les j^'»..., comme il est facile de s'en convaincre, les valeurs x'j/'i'l. quand on remplace i"y\'T,"v" par les valeurs ci-dessus de i,'-nX'v'.