SYSTÈME FOCAL ET DROITES CONJUGUÉES

Les équations qui, dans le numéro précédent, expriment la manière dont les ?.n«;'«.i^«. dépendent des xyz% et les x"^y"my"ml desk'n'V'v" étant du 1" degré, chaque système de quatre équations représente un système géométrique réciproque, dans lequel à chaque point correspond un plan et inversement. Nous avons déjà fait observer dans les numéros précédents que les deux groupes de quatre équations n'expriment qu'un seul et même mode de dépendance.

Les relations, qui sont représentées par le premier groupe de ces équations, sont identiques avec celles que représente le deuxième groupe ; les deux systèmes forment donc un système unique mais réciproque, c'est-à-dire un système polaire.

En multipliant par x'y'z'l les équations Ç«VmCmt''mi ®^ remarquant que aik = — a*i, on a

SJtS coHPOsinoH Dbs FORGES.

Dooe ctuufae point du système est siiué dans le plan ijni lui correspond, et inveruement: pitr roos^Luent le Bystcms polaire est ua s'jstrme focal.

Les ilroites correspondantes Ruivant lestjuelles agiKSCDt les deux forces psr le»qaollee le syatâme donué peut dtre représenta ont une iaiportance spéciale. Si iiodr prenona deux points sur l'une des deni forcei coireepondMifes, les plans correspondant à ces pointa sont des plana projetant l'autre force; celle-ci sera, par suilc. déterminée par l'interseoUon des deux plana.

Aux coordonnées m,k, multipliées par un facteur arbitraire m de la ligne qui réunît tas deux points (l'y'*'!), (i''y''s'Tl, soit.

1 J:"iJ"à I I 'ME''-HunV' + o,î;''-(-arti'", «uV'-t- imI"-!- 0|,;"-)- rt„f'' ]

correspondent les coordonnées da l'intersaclion des doux pians [l'u'î'f'l et (£"i"ï"i'''). L'expression générale des coordounées linéaires de cette iotorsection sera

ou jrhi'A est une combiuuisou de la mémt^ classe des indices l£3-l. Nous aurons en dévoloppaut le dâteriuionnt

linM = |a..«,J«,.-f|a,,«,,l«„+|^,«..|n„-|-|«,,n,,U,.-|-lff,fl„|i.,,+ l04fl*ln,,

l".."!!! lOtl"!!! Un".;! .U.,aij| i"»!"»! WuOrtl

Si, dans le détermin&nt 1 "ii.">« I. oii p et '/ représentent deux quelconques dâ^ I <"i^», I indices 1 S 3 4, un des indices p, q, ou tous las deux, sont âgaux £i it et i'. le di^terininant se réduit A ti.iftn- Ce eus ec présente pour uinq dos déterminants ci-dessuis: mois, pour le sixième, les quatre indices ikp<i sont difTérants et sont par suite uii«> conibinBiïon do 1 23 4. Mais on a

Ortdpfl -|- Qifaip -t- rUfO^i = 'X,

I 'Hpaiï I Nous aurons donc

Nous désignerons l'expression entre parenthèses, formée symétriquement aii moyen de ii et ", sous le nom de moment Imioire, et nous la représenterons par Su.. Quant à )>, que nous pouvons choisir arbitrairement, nous le prendrons é^al à ^, et noua obtiendrons alors pour l'équation de condition entre les coordonnées de deux droite* correspondantes :

Multiplions les équations correspondantes aux six combinaisons des indices tk par les (1,1. complémentaires, ghik étant une combinaison de la même classe des indices 12 3 4, et ajoutons-les; nous obtiendrons :

Mais S» est est égal à aS ; on en conclut que Su. = Sa-, et l'équation ci-dessus entre les Hiiii et Tiii devient complètement symétrique, savoir :

(«il + n.i) 9i = o.»S— = onS...