SYSTÈME FOCAL ET DROITES CONJUGUÉES

Cette équation exprime la propriété caractéristique du système polaire, consistant en ce que, dans ce système, toutes les lignes se correspondent mutuellement.

En multipliant cette équation comme précédemment par rrighy puis par ngh, et ajoutant, on a

(Smm 4" Smn) JC = S am

d'où résulte

S«Mn = Snn*

Par conséquent, si on a Smm = 0, on aura aussi Sun = 0. S«m = 0 représente la condition à laquelle les tmk doivent satisfaire pour représenter les coordonnées d'une ligne droite; Téquation générale ci- dessus donnera donc pour w,* les coordonnées d'une ligne droite, quand on prendra pour les nuk les coordonnées d'une droite. Si S»m et Snn sontuuls^ on aura aussi

Smn Jv — S am — S an — SamS

on.

Si pik et qik sont les coordonnées de deux autres droites conjuguées, qu'on multiplie les équations précédentes par pgh et les équations

{Pth + qik) 91 = SapÛii

F^i' '/«A, et qu'on additionne, on obtient

(1) (Smp "i" Snp) %J\ ^ SanSap

(2) (Snp -f- Onq) «^ ^^ ^apSait)

d'où l'on tire

(3) Smp = Snq* •

Smp = 0 représente la condition à laquelle les coordonnées des lignes m etp doivent satisfaire pour que ces lignes se coupent. Mais si Smp = 0, Sn^ sera aussi égal à léro; par conséquent, lorsque, dans un système focal, deux lignes se coupent, les deax lignes conjuguées de celles-ci se coupent aussi.

Nous appellerons directrices du système les lignes droites dont le moment linéaire est nul, et dont les coordonnées Ak satisfont par suite à la condition Sai = 0. Soient fii les coefficients de la ligne If conjuguée de l, nous aurons

et par conséquent la ligne /' coïncide avec /. Donc les directrices du système se correspondent à elles-mêmes.

En remplaçant dans l'équation (1) p par /, on a :

(Smi + S.w)9l = Sm.Sirt,

équation qui montre que toutes les droites, qui joignent entre eux des points appartenant à des droites correspondantes, sont des directrices, car si Sm< et Sn< sont nais, S«i sera aussi nul ; et que, quand une directrice est rencontrée par une droite, elle est aussi rencontrée par la droite correspondante, car quand Smi et Sai sont nuls, Si»i est aussi nul.

Ijd moment de deux droites représentant le système et rencontrant une directrice est nul par rapport à celle-ci ; d'oii Ton déduit pour les directrices la signification statique que le moment de rotation du système des forces par rapport à une directrice est aussi nul. Nous appellerons, pour ce motif, les directrices axes de rotation <lu système.

De plus, on en conclut que tout plan contient un faisceau de directrices, le ceAtro

i FORCES.

[1 en résulte aussi i|ue ilnui sur un hyperlioloï'le, oar toute droites, est uae directrice du

du TsiareAU étant le Ioy«v du plan, i l^roupes queleonques de droitos coDju;juées sont siti directrice de l'hyperboloïde, qui coupe trois da c< aystËme et coupe par consâquent aussi La quatrième.

Si l'une de deuï droites correspondantes dt'crit l'hyperboloïde, L'autre d^rit sur cette dernière surface une forma projectivo ; eL, comme les droites se correspondent mutuellement, l'enseiuble de toutes les droites correspondantes sur l'hyperboloïde forme un système en invulution. Nous allons, eu vue d'applications ultiirieures. chercher.l'ex pression unulytîciue de cette ir.volution.

Soient |/ij, lîO) o et 6 les dirocIriiicB do l'hyperboloïde, 1 et 2 deus lignes correspondantes, ainsi que "k et V.

mg. I«,

Cl\'/-'

Nous désignerons par >, el p, les équations dos points d'intersection de h avec 1 et t. et par a, et b, les équations des plans correspondant à tes poin ", sera le plan correspondant au point a,, et de mflme pour les autres.

A la droite qui réunit les deux pointa

j, — II,

orrespond l'int«rsectioD des deux plat

et Px = p,-;?,

Pour obtenir la valeur du paramètre V correspondant à X {'), r les points d'intersection a^ et px' <i^ directrices « et A avo< L'équation du premier de ces points sera

it par a,x le i-ésultat de la substitution des coordonnées du plat l'équation du point a,. Par suite, a.^ est la consUnte :

(•) Le pirjmèlre i, rt