COURBE DIRECTRICE DU SYSTÈME DE FORCES
NoQs allons indiquer brièvement dans ce numéro, comme nous Tavons fait au n*62, p. 211, la relation entre la courbe gauche du 3* degré et le système focal. Noos commencerons par rechercher le système fbcal qui est représenté par une cubique donnée.
La forme la plus simple des équations représentant une cubique est la suivante :
X| — Xxj = 0, arg — Xtj =: 0, aPt — Vrj= 0.
Dans ces équations, Xj, %, ar,, x^ sont des coordonnées tétramétriques (voir la note B), •nii se déduisent des coordonnées cartésiennes par des substitutions linéaires; X ^ un paramètre variable. La cubique est ainsi engendrée par Tintersection de trois plans variables projectifs passant chacun par une droite fixe. La recherche ■les constantes, auxquelles les forces et les moments sont proportionnels, conduit à ^expressions très compliquées, des déterminants du 5« degré, quejions développerons dans le numéro suivant. La formation de ces constantes ne présente aucun
tSB COUraSITION UhS FMhCKS.
iatér^t pratique dans te eas de coordonn^estétram^trlques; noue ne tarons par suite u><age de ces coordannées que quand il a'Sf^ra de déterminer la pONitloD des 411' iiients géométriiiues, et non la gnindour d6^ forces ngissantrar lus différonls poïoU ou lies moments agissant dans diiréreiits plans. I/équàtion du plan qui passe par les trois points V*:^ ^^t (') ■
X,1,V. - P>.\ + ^1^ + Wi^, + 0^1 + ^ + 'l'-'i- J'i ot les coordonaéos de co plan sont donniïos par les rapports :
Le point correspondant à ce plan {l',^iV,Vi,) est l'interjection des trois pUns osculateurs en Xl)>,V L'étiuation du plan oscillateur CD V, se dMuit de celle itu plan pa^aut par les trois points ^i^^ en faisant ).| := ^=:^ = ^,. Cette équattou
\fx, — n}xt + 3)wj — 1-4 = 0.
En substituant successivement à i-i \, ^. X,, on obtient les âquitloos des tmis plana dont l'intersection donne le point cherché. Soient jf,if^^\ les coordoiuii-es da œ point. La résolution des trois équations donne :
En comparant ces ordoun^es lea équation^de condition :
^1 + \ + >» ^1^ + \X, + ïq*-! 3X,Î,X,'
celle du plan correspondant I'i^'iE'j^'m
dans lesquelles les coefficients de tous les termes manquants sont nuls.
Si nous comparons maintenant ces coefficients avec cens du système focal, ii- 61, p. 220, nous voyons immédiatement qu'ils représentent aussi un système focal, car
nt des iqDitiani qnï ptécideal.
iDées du poiQl 1, sont I, X,, 1/, X», L'équationdu pUn |iui
y., il* 11»
>.i il' >.,"
13 la' \)> I
COURBE DSkÈCtRicÊ liu StèTÊififÈ bH: FORCES. til
et
On a aussi, pour une droite quelconque mik :
Les droites correspondantes aux coefficients sont liées entre elles pkt là relation :
niik + «I* = ( w,j — - mnj aik = f «jj — ^ «isj «tk,
et les directricéâ doivent satisfaire à la condition /{t = ^j.
Nous allons vérifier, au moyen de ces équations, qu'à la droite qtfi Joint dê\ii pointa dé là coÙrbë correspond Tintersection des plans osculateurs eti ces détlx poiiits.
Si, dans les équations ci-dessus qui donnent x'^x'^e'^'^ en fonction de ^^^, kàttk (aisons \:=z\^=\, le point x\x'j^'^\ sera un point de la courbe. Nous trou- . Yons en opérant ainsi
1 "" "x, "" xî ~ x; •
Le poixit, dont les coordonnées sont lX|X;Xf , est donc un point de la cburti»e ; non^ aurons de fnéibe ùii second point l^XJX^.
t^Âr sùité^ potir obtenir les coordonnées de la droite qui joint ces ièkx points, noits ti*iUrôil^ yu*â (brtner les six déterminants :
I 1 \ x; Xî I
en prenant les colonnes deux à deux. La suppression du facteur commun X^-^X^ donne pour ces coordonnées :
1 \4-^ 1; 4- XjX, + X5 XjX, w\ + x^ xjxî*
Noos déterminons dé la inétiié manière les coordonnées dé rintérseciiôn Aéé deux pUns ôsculateûrs correspondants aiix deux points. Leé coordonnées Vf!ji*ji\ du plan Ôscolâteur ftU point Xi s'obtiennent en faisant X| = X, = Xg dans lés équations donnant les ccfordonnéès du plan X^X^)^, savoir :
x; — 3x; 3Xi —1*
Nèiis {(îttïiëtlflSË pitr suite les coordonnées linéaires n,k de TinterSëctid^ dés j^lànià 08ciilatéilh$ eii Xf et X^ ftu moyôri des six déterminants :
I X? — 3X; 3Xi — 1 I
en ayant soin dé prendre, pour former nu, les colonnes gh, les lettres ghik réprésentant, comme précédemment, une combinaison quelconque des indices 1^34. Si nous supprimons lé facteur commun 3(X| ~ X,)« ^ous obtenons :
-1 "" -X, -x, ~ - 3X,x, - - KV+>^i^+ V) =^WV-55 ^=^W*
Kotts fdyotiK pai' èrùitè (tué Séun = Snn = 0, et que mu et na àont bien léà cjj6r-
an i;OIIFOSlTI0N DES FORCliK.
ilonuéos lie deux iiRiies droites^ (jue
-1S.. = — !&,» = '»„- '»r„ = n„-^.in=i,i,~i(V + \^ H- V).
que, pour des mdices lA UIb que a,k = trairea. Nous voyona enfla i]nc, pour i' satisTont A l'équntion
m,, + ".. = P.,ï., - -A^' 1- >.,"'-i + Vil".'.
Par conséquenl les droitsa m et n, c'est-à-dire la droite qui joint deux points do la courbe et l'iatoraactioD des plans osculdteura de ces deux |«ints sont bien dee droites corras pondantes du syatâme foc&l-
Ed ruisaut X, = )4, laa di'Oitcs ni et n se confondent en une tangente à la courbe; les coordonnées de cette tangente ac déduisent des âquetîons de rn,t ou de celles de
Cotte tangente oat une directrice du ajatôme, parce que deux droites correspondantae se conroodcnt sur celte taogente.
Cherchons encore k position du point, du plan osculateur et de la tangente à. la courbe pour les valeurs particulières 0 et oo de \. Pour \ =0, les coordonnées du point correspondant delà courbe (j'iTi-t'it'O sont (I OOOi^par suite, à celle valeur de \ correspond le sommet 1 da tétraèdre formé par les quatre plans x,x,x,ii, c'est -&-dire le sommet opponê à la Tace ,c,. Les coordennt'es du plan osculateur (ï'iE'i^'i^'i) ^it (0001): ce sont les coordonnées du plan 4 qui passe par 1»( sommets 1E3 du tétraèdre. Les coordonnées de la tangeole sont toutes égales à 0 sauf i!,, = l. Si on se reporte A ce qui a été dit au q° 47. p. 166 et 167, oo voit iiueces coordonnées représentent la droite qui joint les points 12, ou, ce qui revient au mémo, l'intersection des plans 3 ^. Donc, eu résumé, à la valeur i, = 0 correspond le sommet du tétraèdre des quatre plans coordonnés, et eu ce point la courbe est tangente à la droite qui Joint les sommets 1 S et a pour plan osculateur le plan 123. On reconnaît de la même manière qu'à la valeur \ =; oo correspond le commet 4, oii la courbe est tangeote à la droite 4 3 et a pour plan osculateur le plan 4 3 3. A la droite qui joint les points 1 4 correspond l'intersection des deux plana oscuiateurs 1 23 et 432 ou la droite 23; les droites 14 et 2 3 sont donc des directions correspondantes du système de forces représenté par la courbe. Les deux arêtes 1 3 et 2 4 du tétraèdre, dont nous n'avons pas parlé jusqu'à présent, sont des directrices.
Un système focal et la courbe du 3' degré qui le représente ne déterminent pas complètement le tétraèdre des coordonnées, et il y a une inilnité de tétraèdres satisl'aisant aux conditions que nous venons de trouver. Inversement, un tétraèdre donné ne détermine ni le aysléma focal ni la courbe du 3' degré qui représente ce système. En efTet, au point de vue statique, on peut faire varier le rapport des forces agissant suivant les arêtes 1 4, 2 3, et par suite le nombre des systèmes focaux possibles ponr un tétraèdre donné est infini. Au point de vue analytique, la courbe du 3* degré et le système focal correspondant varient quand on muItJpHe les expressions j',z,j'iXt par des constantes. Enfin, au point de vue graphique, deux points, ainsi que les plans osculateurs et les tangentes en ces points, ne suffisent pas pour déter^ miner une courbe gauche du 3* degré ; on peut encore faire passer la courbe par un point arbitraire, pourvu que ce point ne soit situé dans aucun des deux plans osculateurs.
Pour terminer, nous montrerons encore comment une courbe du 3' degré peut être déterminée par un système focal. Il est clair que nous obtiendrons cette courbe au moyen d'une transformation linéaire du système focal qui supprime dans le dé-
