FORGES CONJUGUÉES
terminant 91* la diagonale descendante, c'est-à-dire qui donne à ce déteiminant la forme trouvée p. 230. Soient :
les équations, ramenées à la forme normale, des plans du nouveau tétraèdre coordonné. Si ces équations n'étaient pas sous la forme normale, il faudrait multiplier
les ^ par -- , ta' étant le sinus de Tangle solide et E* le déterminant
1 wj <«>, p,,
Wj 1 O), prt co, w, 1 pa
P.1 P.Î Pa 0
Comme nous ne nous occupons, dans ce numéro, que de la position des éléments conjugués, nous pouvons laisser de côté ces coefficients et nous poserons :
et
et posons :
Substituons ces valeurs dans Tune des équations générales du système focal :
dk = o^iPh + û^Ph + flaPw + «rtPw Le résultat de la substitution sera :
MoUiplions maintenant chacune des équations obtenues en faisant successivement 1=1,2,3,4, par p^^ et ajoutons ; nous obtenons, en supprimant le facteur commun :rj^ du déterminant de substitution :
B = Pki^ti + p4^i2 + Pw^ks + Pjk4*k4
^*« = cuhi + Cj,P„ 4- ^siPu + <^4.Pu
= «u(P*lPn— PàsPil) + «l8(P»lPiî— pMpii) + Ûl4(PklP,4— PwP«)
+ ûîsCPïîPa — PmPa^ + ai4(PwPi* — hfiit) + Û8v(?*8pi4 — PuPis- Sous cette forme, on voit immédiatement que
^, = 0 et /,*=— <*t.
Le système est donc encore, après le changement de coordonnées, un système réciiMXXiae, car ce changement ne pouvait pas modifier la nature de la réciprocité. En outre, les déterminants mineurs mis entre parenthèses dans Texpression de ikt ne sont pas autre chose que les coordonnées linéaires de Tintersection des plans t'A, on de la droite qui joint les points gh.
Donc : Les éléments Uk du système focal transformé sont^ en tenant compte des signes, les moments linéaires Sa(gh) de Varéte t'A du nouveau tétraèdre coordonné.
Le déterminant T des éléments t est égal â RB* ou à
ou
^îl 's s ^»4
/si hi ^ U\ la Ui
ûl 2 «1 8 «1 4 «il «Î8 <'«4
Pli Plt Pi 8 Pi 4
Ptl Pjl Pj8 Pî4
Psi P82 Ps8 P84
ainsi que cela résulte du mode de substitution.
Nous pouvons msinteDaat tronver racilement la canâitipn pty^f^ que fit =S<i{f k) =0 i 'l'apres le n* 65, p. 223, Pm-éte gh ilu titrafidre coordonné rto\t être une dirtctriçt.
Par conséquent, si la transformation des coordonnÉes doit être telle que la dUf[onale dasceudaute <Iu déterminant T soit supprimée, les nrëtes 12, 1 3, 2 4. 34 du tétraèdre doiTent étie des directrices. Les arfites H et Ï3 Haut alors des droites correspondantes, ce qui coocorde avec lo résultat déjà obtenu p. 2SK. On ohtieniîrs donc la forme simple du système focal en prenant les sommets da tétraèdre coordonné sur deux droites co()JuKu4es-
Maie ces quatre sommets ne déterminent pas encore le syatéms Tocal, c&r od peut là modineren multipltnnt les coordonnées des arêtes pnr des facteurs arbitraires. Pour que le sj-stème tmnsfofaié soit congrueot avec le premier, il faut que las coordonnées des ar-Hes «oient obtenues au moyen des p ramenés à )a forme normale et des nn.
fil. FnnpEs cdSJiifiCÈiis
Après HTOir étudié la position de deux droites conjuguées, suivant les direclioas desquelles Baissent des forées, et au moyen desquelles le système de force<; donni' peut être représenta, il nous reste il déterminer In grandeur de ces forces.
Soient M et N les forcer agissant suivant les droites conjuguées m et n- Soient TU et " les facteurs normaux formés au moyen dus ma et ni* comme '■ a été form^ !iu moyen de /, ii" S4. p. ï?0. La somme ries deux forces devijiit être égale & celle lies dilïérenteB forces du système, nous aurons :
En comparant cette équation avec celle de la page 2H, savoir
fm,t -t- ft.,)9t = .i;tS.„ — a.iS,,. ,
on voit que ces deux équations ne peuvent exister, quels que soient mit et n,%. que M N 3i ÎR
Ces équations permettent de calculer facilement la grandeur d'une force, étant données les coordonnées de la droite suivant laquelle cette força agit.
Pour les directrices, on aSsi = 0, et par suite la force qui agîtsuivantane directrice est infinie. Nous pouvons arriver au même résultat par un autre moyen, en déterminant le volume (S, du tétraèdre formé enjoignant les extrémités de deux forces conjuguées, ces forces étant portées à une échelle quelconque sur la direction des droites. Soient i,. yi, n, 1 les coordonnées des sommets de ce tétraèdre (t = 1, i, 3. 4), et u' le sinns de l'angle solide formé p^ les axes des coordonnée.".
Si les points I ^t 2 sont situés sur la force M et les points 3
FORGES CON^CGUAkS.
faudm que
et
Xf — Xi .Vg — 1/^ __ gg— Zj __ M
IW
^4 — ^s y» — ys ^4 — ^8 ^
Substituons ces valeurs des différences des coordonnées dans Texpression du volume du tétraèdre, et remarquons que les déterminants mineurs formés au moyen des colonnes ik des éléments '
X, yi Zj \
et
ar, ifi 2, J
^ont égaux à ma et riik ; nous obtiendrons :
61? = — . — . SmnCo'.
Or — . ^ est égal à ^7-, et S«„ à ZZl, n» 65, p. 22îî; psr suite :
'am
Donc : ie produit de la constante 91 du système focal par le sinus de r angle solide est égal n six fois le volume du tétraèdre obtenu en joignant les extrémités de deux forces rmjuguées.
Appelons 8 l'angle que les deux forces font entre elles, et h leur plus courte distance ; nous aurons :
eS = 9îco' = AMN sin 5.
Enfin, en appelant 9Î le moment de la force N par rapport à un point de H et |a Tangic que la direction de M fait avec le plan de ce moment, nous aurons une troi- Mème expression du volume du tétraèdre, savoir :
6© = M9Î sin Ht = 9îaï'.
Cette formule est encore applicable lorsque Tune des deux forces est une force à l'infini, et montre que, dans ce cas, la base du tétraèdre est remplacée par la surface représentative du moment.
Si les deux forces conjuguées M et N coïncident suivant une directrice, /* et sin 6 deviennent nuls, et il faut dans ce cas que les deux forces soient infinies pour que le produit AMN sin Ô conserve une valeur finie. On doit par suite considérer la force agifv«ant suivant une directrice comme formée de deux forces infinies. Si, au lieu du produit MN, on suppose h sin S infini, c'est-à-dire h infini, puisque sin 9 est toujours <1, Tune des deux forces M et N doit être une force infiniment petite située à l'infini.
Si lefe deux forces étaient des forces à l'infini, 91 serait nul, et le système se réduirait à une force unique à l'infini résultant de la composition des deux forças agissant dans le plan à l'infini.
Puisque nous nous occupons ici de l'intensité des forces, nous allons indiquer encore la signification des équations fondamentales du n'» 65, p. 2?0, signification que nous connaissons déjà d'après ce qui a été dit au n" 60, p. 201- Imaginons q||e la force A ait son ongine au point {x''y''z") (fig. 125, p. 218); les coordonnées de l'extrémité de cette force seront :
