COMPOSITION GRAPHIQUE DES FORCES DANS L'ESPACE

Les perpendiculaires abaissées du point M, dans chaque plan de projection, sur les rayons passant par les points d'intersection de G et des cercles de réduction, doivent être égales à la différence des ordonnées des extrémités de U', ces ordonnées étant prises perpendiculairement au plan de projection considéré. Cette différence d'ordonnées est égale à h^ pour le plan horizontal et à k^ pour le plan vertical. Par suite, si du point M comme centre, on décrit, dans chaque plan de projection, un cercle ayant pour rayon A„=A„ dans le plan horizontal, et A'^=A^ dans le plan vertical, les rayons des cercles de réduction tangents à ces cercles détermineront les intersections de G avec les cercles de réduction.

On peut, comme vérification, rechercher si le plan OG est bien perpendiculaire sur U'.

La droite G ainsi déterminée est Taxe central. Nous avons indiqué par un trait de force un segment de G égal à la résultante des quatre forces 1234. Ces quatre forces se réduisent par suite à une force G et à un moment de rotation autour de cet axe, dont la grandeur est S = UV.

Il est très commode, pour les constructions que Ton peut avoir à exécuter sur ce système de forces, de se servir de parallèles au plan horizontal menées par le point 0. Aussi, nous allons déterminer le foyer de ce plan, et pour cela nous emploierons un procédé analogue à celui qui nous a servi à déterminer Taxe central. Nous décomposons le moment OU de la force à l'infini en deux autres moments, dont l'un est situé dans le plan horizontal passant par 0, et dont l'autre passe par le point à l'infini de M. La normale, qui représente le premier moment^ est la verticale passant par 0. Toutes les droites, menées perpendiculairement à OM par l'extrémité U du polygone des moments, sont situées dans le plan uv déjà construit. Le point d'intersection V de ce plan avec la verticale détermine par suite le sommet inconnu du contour OYU. Ge point est Tintersection de la droite dd" avec la verticale passant par 0, car, par construction, ces deux lignes sont situées dans le même plan.

La différence des ordonnées du côté VU est égale, en ayant égard au signe, àl'antiprojection de laforceMj, quand on réduit celle-ci à la baser; on utilisera cette différence pour déterminer la nouvelle position M, de M, comme on l'a fait pour G. Le foyer d'un plan horizontal quelconque sera à son intersection avec M,.

Sur la PI. Vil, nous avons marqué, par un trait de force, le segment de M| représentant la grandeur de la force, en portant ce segment à partir du plan horizontal mené par 0. Faisons passer un second plan horizontal par l'extrémité de ce segment. Les deux plans horizontaux et la ligne M] correspondent complètement aux deux plans parallèles et à la ligne H de la fig. 127, p. 236: Appliquons les constructions que nous

25i COMPOHITIO-f IIKIt KnRCEtb

avons indiquées, et déterminons le plan correspondant â tin point donné. Soit X CI! point, que nous prenons dans le plan horizontal supérii portons la résultante M à partir de ce point et en bas. Afin de pouvcir facilement mener des perpendiculaires à M,, perpendiculaires qui sonl parallèles au plan uv, nous changeons daplans de projection en pronani pour nouveau plan vertical le plan vertical passant par M, et pour plan horiîîontal le plan horizental passant par 0; M, se projette vertJcalenienl en M', et x en x,. Transformons maintenant, dam chaque plan de projection, le moment xM, ou A„ et k'„ au moyen du rayon r. Appelons N le sommet inconnu du polygone des moments OTTS. Les antiproJoctionK fi„ et k'„ nous dunncnt la difTérenco des ordonnées du côté V'N qui représente le moment xM,. Nous pouvons par suite tracer sur chaque plan la projection du contour OTN; cette projection est ffN dans le plan horizontal, et OTTÏ' dans le plan vertical; O'N est perpondiculairo a la droite l, horiKonlale du plan xM,, OT est épal à OV, moment de la force a i'inflni située dans le plan horizontal, et euHn V'N' est perpendiculaire à M',, verticale du plan xM,. Le plan cherché K passe par le point X et est perpendiculaire i la droite V'N de l'espace; ses traces seront par suite perpendiculaires ùffN et O'N'; il coupe la ti^ede terre au point K.

Si on donnait le plan K et qu'on voulût déterminer le point eorrespondantK, on opérerait d'une façon esactement inverse. Le rayon O'N', perpendiculaire à la trace verticale, détermine, par son intersection avec V'N', le sommet N du polygone des moments, et ce sommet détermine â son tour les hauteurs k'„ et A„, au moyen desquelles on obtient le point X situé sur la parallèle /, à la trace horizontale.

Cherchons en particulier le point correspondant à un plan perpendiculaire à M,. Nous aurons, dans ce cas, A'„ = 0, c'est-à-dire que la projection verticale de l'axe central coïncide avec M',. Le rayon ON' comcide aussi avec M', ; par suite, la longueur de ta perpendiculaire abaissée de T sur M', est la différence d'ordonnées k\, qui, multipliée par r, est égale au produit de la projection horizontale M, par la distance de l'aie central et de M[. Sur la PI. VIL C passe par le pied de la perpendiculaire VN'; mais c'est là une circonstance fortuite, qui ne peut pas serrir de règle pour la détermination de l'axe central, 11 n'en aurait pas été ainsi si on avait pris un autre rayon )■ pour base de réduction.

Considérons une droite xx,, coupant en x le plan horizontal mené par l'estrémité supérieure de M,, et en x, le plan horizontal mené parl'estréroité inférieure. D'après ce que nous avons vu (/îy. 127, p, 236), le point d'intersection a, de la droite F et de la trace horizontale du plan K est un point de la droite ir,it conjuguée de xx,. On détermine le point de ren-