DÉCOMPOSiTIGN ANALITIQUE DES FORCES
Noua BamiRM mUntocant ea mecnrs il'opâror flicllemeiit U compost H on snalrtiquo d'une rorce M passant par la point [j;tVii|l), ou rl'uiid force N allume Uans lu plan P.W"")-
Peur d^ompontr la fbivo M en trois forces passant pur la point, od ae peut pi'Oaiti-e urbitrairement pour ctaaquo force qoa trois coGnicienta fti^i't). car un roefllcicnt quelconque ' doit âtre l'un das aii détermluautB :
I *i .Vi >■. 1 I
L« gmadaun A> A', A" ilu trois eompMantas doivent adtttlUrA imi âqnatioDs :
ïï,„., = ^,„ + ^',.,+ ^r.,.
•■ 'il f4. f,,
Il, '\, r,.
ht /'il f..
anppoMDH en pBrtieulior qbé Ift" soient 1e« ar^es 41 4t 43 d'un tétraèdre passant toutes par le sommet 4. Noua auront I
/'rt = I X, y, z, 1 I et /-.. = I r, ;,, i, I I U. !/. *i 1 I U. y, »» 1 I
et par suite
I ''il '"il I — I Vi-i/i^ y^—y* j = I ïi =1 1 I = St.
en désignant par XjYtZtUi les déterminants mineurs du déterminant
D = X, yi 3i 1
Xi IJi Zj 1
De même les coefficienia de /^^ et i^i dans le dénominatoor de M sont Yf et 2j ^ et par suite oe dénominateur est égal à
(«» - «i)X, + (^4 - yj)Y, + (^4 - -ï,)Zi = - D.
Le déterminant du dénominateur de A est égal à
tn^i
Vt
yj
Les six déterminants formés au moyen de la l*"** et de la 4* ligne de ce déterminant donnent les valeurs de m changées de signe; en prenant la 2* et la 3* ligne, on obtient les coordonnées de l'arête 23 du tétraèdre, c'est-à-dire de l*aréte opposée à /. Par suite, si nous désignons, pour abréger, les moments linéaires de m et de cette arête 2 3 par Sm, s 3, nous obtenons, entre les grandeurs des forces agissant suivant les ai^tes, les relations
A A A^^ M cSw, s 3 e'Sm,8 1 e"Sm, t s "^ niù'
U décomposition de la force N en trois composantes, dont les directions forment un triangle 32 1, s'obtient au moyen des équations :
Nous nous dispensons de développer la solution de ces êguations, qui sont de la même forme que les précédentes.
Si nous considérons le triangle comme la base d'un tétraèdre, ayant pour faces les plans \^^Vi^ nous obtiendrons, en procédant comme pour M :
rôn, 41 e'Sn, 4 2 e"Sn, 4 3 wA'
«ti A est le déterminant (^i^ia^sU) des coordonnées des faces. Supposons que M et N soient deux forces conjuguées d'un même système. En
substituant dans les expressions précédentes les valeurs de — et — trouvées au
D*6T, p. 230, nous obtiendrons les valeurs correspondantes des composantes A; mais
nous pouvons obtenir ces valeurs par un procédé plus simple.
Nous avons vu qu'un système de forces dans l'espace peut toujours être remplacé
par un système équivalent de six forces, dirigées suivant des droites arbitrairement
choisies, à la condition qu'il n'y en ait pas plus de trois passant par un même
point ou situées dans un même plan. Les grandeurs des sin forces doivent satisfiaire
360 i:nMP(JSiTiiiN ots FiinOBS.
aux Sis ^Dations :
et HiDBid« suite pour les indices U, 23, 42, 34,
La solution gén^mla de cos équations n'offre rien de particulier; mais elle se simplille d'une luanitro rotnarquablo lorsque les six directions choisiea aotil 1« arêtes d'un tétraèdre. Supposons, lianK tx cas, que les arêtes I et l' soient opposêeB Pour détonniner A, roultiplions chaque équation «i, par le /• qui est ofTectû de l'indice complémentaire gA. Nous aurons :
car tous leii autres moments linéaires Su sont nuls, puis'iue /' rencontre toutes les arêtes & l'exception de /.
Si In / sont dss déterminants mineurs du second degré de D et A, Sic est coastant et égal à D ou & ponr toutes les arêtes opposées. On a, dans ce cas ;
Ko coroparont ce résultat avec celai auquel nous sommas parvenos an n* 66, p. fSS, on peut dire que II, aa moyen if ma tranaformutton ilr i-ooriionnées, on raitporlr k lystème donné ii un litraèdre qae!con<jae, les taeffiritnts il» st/stéme fiiral rrpréientent la grandeura dtt forcei agùsani suivant Ifi arélei dv tilrarilrt, qtmnd on déeompi^ie le 'l/ilirnt mivant lu directions de ces aiiftes.
Si nous appliquons cette décomposition au tétraèdre des coordonnéos cartésiennes, nous trouvons ijur [oui lea p et les D sont égaux A I. Quant au\ iiréles, tous les / sont nuls, saar celui qui a pour indices ceux des sommets situés sur cette arête; par suite, pour l'ari'te opposée à l'arête ik, S.i se réduit à o,il,s ■= ",*■ Donc A = "ii eil la grandeur de lu force agissant suivant Faxe ik.
Cette application montre quelle est la sît^nillcatiou des coeilicicnts a,v. Les Torces "i\"i'''^i agissant suivant les axes des z, des if et des t, sont des forces flnies ordinaires, taudis que les forces a^jOt^a,^ agissant dans les plana des xy, des yi et des zx, sont des forces à l'inllni, c'està-dire des moments.
RELATIONS COLLINÉAIRES ET RÉCIPROQUES. 26i
