RELATIONS COLLINÉAIRES ET RÉCIPROQUES

La construction d*un polygone funiculaire correspondant à un polygone des forces est toujours possible, quel que soit le contour de ce dernier polygone, et inversement. Supposons que Tun des deux polygones soit inscrit ou circonscrit à une courbe du second degré, et recherchons dans quels cas Tautre polygone satisfera à la môme condition.

Cette question serait résolue si nous pouvions indiquer dans quels cas les deux polygones sont projectifs, car alors Tun des deux polygones ne pourra être du second degré sans que Tautre le soit aussi.

Si les deux polygones sont projectifs, ils seront collinéaires ou réciproques. Pour mettre les deux polygones en relation collinéaire, nous devrons faire correspondre les côtés du polygone des forces aux droites suivant lesquelles ces forces sont appliquées, c*est-à-dire que le polygone des forces et le polygone formé par les directions des forces devront être collinéaires. Ces deux polygones ayant leurs côtés correspondants parallèles, auront comme droite commune la droite à Tinfini ; ils seront par suite semblables et semblablement placés. En construisant le polygone funiculaire, on obtient dans ce cas la figure de réduction donnée page 83, fig.^i, dans laquelle 012,3,... représente le polygone funiculaire. Gomme la surface réduite est proportionnelle au moment de la résultante, moment qui est égal à celui des composantes^ il en résulte que le moment d'un nombre quelconque de forces, dont les directions forment un polygone semblable au polygone des forces, est proportionnel à Taire de ce dernier polygone. Mais ce résultat, bien

CUH POSITION DES t'URCËS.

qu 'in té rossant, ne nons conduit pas au but que nous nous proposions, car les deux polygones 0 1 2, 3, et 0 1 2 3 ne sont pas projectifs. Nous laisserons pur suite de cûté la relation colllnéairo pour nous occuper de la relation réciproque.

Si le polygone des forces et le polygone funiculaire sont réciproques, à un cOté quelconque du polygone des forces devra correspondre, dans le polygone funiculaire, le point d'application de la force représenlé« par ce cOlé. Ainsi, aux différentes forces 2, 3, 4 .... du polygone des forces, PI. VIllj, correspondront les points d'application 2, 3, 4 ,.,., PI. VIII,, dans le polygone funiculaire, Inversement, les différents eûtes 2 3, 3 4 .... du polygone funiculaire correspondront aux sommets 2 3, 3 4 .... du polygone des forces. Les rayons 0,) 2 3, 3 4 ...,, fig. 3, devant être parallèles aux c6tés 2 3, 3 4 ...., fig. 3, cette condition ne peut être satisfaite qu'en faisant correspondre le pûle 0, du polygone des forces à la droite à l'infini du polygone fimtculaire, de façon qu'ils soient projectifs.

Tout rayon 0,) 2 3, 3 4 .... mené par le pôle 0,, rencontre alors la droite à l'intini au point correspondant tx,) 2 3, 3 4 .... du polygone funiculaire, c'est-à-dire que les rayons qui projettent de Û. les points 2 3, 3 4 .... sont parallèles aux côtés du polygone funiculaire qui correspondent à ces points, ainsi que cela doit être.

Si les deux polygones sont réciproques, les lignes d'application 2 3 4, fig. 3, des forces dans le polygone funiculaire, lignes qui sont parallèles aux côtés correspondants du polygone des forces, concourent en un même point 0., qui est le point du polygone funiculaire correspondant à la droite h l'inflni du polygone des forces.

Celte propriété, que nous devons à M. le Professeur Hei/e, résulte de ce que, dans deux systèmes plans réciproques, quand :

une droite du premier système est perspective au faisceau correspondant dans le second, cette droite considérée comme appartenant au second système est perspective au faisceau correspondant dans le premier.-

un faisceau du premier système est perspectif à la droite correspondante dans le second, ce faisceau considéré comme appartenant au second système est perspectif h la droite correspondante dans le premier.

En effet, si les trois rayons aùc, fig. 130, passent respectivement par leurs pointa correspondants ABC, et qu'à la droite o. sur laquelle sont situés ces points, corresponde le point 0, les rayons O) ABC passent aussi par les points 0) abr (|ul leur correspondent, car ces points sont identiques.